Vettore (matematica)

Un vettore nello spazio tridimensionale è un segmento orientato.

Immagine:Vettore definizione.jpg

Gli elementi che caratterizzano un vettore sono:

direzione: la retta su cui giace il segmento;
verso: uno dei due possibili versi su questa retta;
punto di applicazione: punto di inizio del segmento, ovvero il punto che precede tutti gli altri punti del segmento;
modulo o intensità; lunghezza del segmento.

Un vettore viene normalmente indicato con uno dei seguenti simboli:

$\mathbf {v}$

$\vec {v}$

$\overrightarrow{AB}$

Il modulo del vettore v viene indicato con |v| o più semplicemente con v.

Indice

1 Operazioni con i vettori

1.1 Somma vettoriale
1.2 Prodotto per uno scalare (o prodotto esterno)
1.3 Prodotto scalare (o prodotto interno)
1.4 Prodotto vettoriale

2 Componenti di un vettore

2.1 Scomposizione di un vettore
2.2 Componenti cartesiane di un vettore
2.3 Operazioni tra vettori mediante le componenti

3 Voci correlate

Operazioni con i vettori

Somma vettoriale

Immagine:Vettori somma.jpg

La somma di due vettori u e v aventi lo stesso punto di applicazione è definita come il vettore w, diagonale del parallelogramma formato dai vettori u e v (vedi figura a fianco). w appartiene allo stesso piano di u e v La somma gode delle seguenti proprietà:

u + v è ancora un vettore (cioè "+" è legge di composizione interna);
(u + v)+ x = u + (v+ x ) (proprietà associativa)
esiste l' elemento neutro rispetto alla somma; il vettore zero, 0 è un segmento degenere di lunghezza zero, cioè un punto;
esiste l' elemento opposto rispetto alla somma, cioè un vettore - v che sommato a v da il vettore zero; - v è un vettore che ha lo stesso modulo, punto di applicazione e direzione di v, ma verso opposto.
u + v = v + u (proprietà commutativa)

Immagine:Vettori opposto differenza.jpg

Queste proprietà fanno sì che l'insieme dei vettori dello spazio con lo stesso punto di applicazione $O$ sia strutturato come un gruppo abeliano o commutativo.
La definizione di opposto di un vettore permette di definire la differenza tra due vettori u - v come somma di u con l'opposto di v (vedi figura qui a fianco)

Prodotto per uno scalare (o prodotto esterno)

Immagine:Vettori prodotto per scalare.jpg

Il prodotto di un vettore v per uno scalare a (numero reale) è un vettore u che ha lo stesso punto di applicazione, verso e direzione di v e modulo uguale a a v. Se a>1 il vettore viene dilatato, se a<1 il vettore viene contratto.
Il prodotto per uno scalare gode delle seguenti proprietà:

a v è ancora un vettore (cioè il prodotto per uno scalare è legge di composizione interna);
(a b)v = a(b v) (proprietà associativa)
esiste l' elemento neutro rispetto al prodotto ed è il numero 1;
(a + b)v = a v + b v (proprietà distributiva rispetto alla somma di numeri);
a (u+v) = a u + a v (proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori);

Prodotto scalare (o prodotto interno)

Il prodotto scalare tra due vettori u e v aventi lo stesso punto di applicazione è definito nel modo seguente (si veda la figura sotto)

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}= {u} {v}cos {\theta}$

Il prodotto scalare non è una legge di composizione interna, perché associa a due vettori un numero reale. Non ha quindi senso parlare di associatività, di elemento neutro, oppure di elemento opposto; il prodotto scalare risulta invece commutativo $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {u}$ . Il prodotto scalare è nullo se uno o entrambi i vettori son nulli, oppure se i vettori sono tra loro perpendicolari.

Immagine:Vettori prodotto scalare e vettoriale.jpg

Prodotto vettoriale

Si dice prodotto vettoriale dei vettori v e u il vettore libero w avente:

la direzione della retta perpendicolare al piano individuato da v e u
il verso quello di una persona che percorre l'angolo θ tra v e u in senso antiorario. Per il verso si utilizza anche la regola della mano destra; disponendo pollice, indice e medio perpendicolari tra loro, se il pollice indica la direzione di v e l'indice la direzione di u, allora il medio indica la direzione di w (si veda la figura qui sopra). In maniera equivalente si può affermare che il verso di w è tale che la terna (v,u,w) sia una terna levogira.
il modulo di w è definito dalla formula:

$|\mathbf {v} \times \mathbf {u} |= {v}\, {u}\, sin \,{\theta}$

Il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà:

è associativo
è anticommutativo: : $\mathbf {v} \times \mathbf {u} = - \mathbf {u} \times \mathbf {v}$
è nullo se uno o entrambi i vettori sono nulli, oppure se i vettori sono tra loro paralleli.

Componenti di un vettore

Scomposizione di un vettore

thumb|right|250px| Scomporre un vettore significa trovare altri due (nel piano) o tre (nello spazio) vettori, la cui somma sia uguale al vettore dato. Mentre la somma vettoriale è un'operazione univoca, un vettore può essere scomposto in infiniti modi. Anche la scomposizione è univoca se si specificano le direzioni lungo cui avviene la scomposizione.
Un vettore v può essere scomposto lungo le direzioni r ed s conducendo dalla "punta" del vettore le parallele alle rette r ed s. Le intersezioni di tali parallele con r ed s definiscono le componenti di v lungo r e lungo s,

$\mathbf {v}= \mathbf{{v}_{r}}+ \mathbf{{v}_{s}}$

La scomposizione di vettori è una procedura molto utilizzata in fisica, in particolare in statica per scomporre le forze lungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari a determinati vincoli).

Componenti cartesiane di un vettore

thumb|right|300px|

Se si scelgono come direzioni di scomposizione di un vettore v gli assi cartesiani x e y, allora le componenti del vettore sono dette componenti cartesiane. I moduli di tali componenti sono detti rispettivamente componente x e componente y e vengono di solito indicate con v_x e v_y.
Per dare una rappresentazione algebrica ai vettori appartenenti ad un piano vengono inoltre definiti i versori degli assi cartesiani

$\hat {i} = \left (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right)$

$\hat{j} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right)$

vettori di modulo uno, rispettivamente paralleli all'asse x e all'asse y. Un generico vettore v viene quindi rappresentato come

$\mathbf {v}= {v}_{x}\hat{i} + {v}_{y}\hat{j}$

Il vettore v viene anche associato alle sue componenti e viene quindi identificato con la coppia di valori v_x e v_y:

$\mathbf {v} = \left (\begin{matrix} {v}_{x} \\ {v}_{y} \end{matrix} \right)$

Se i vettori appartengono a tutto lo spazio tridimensionale occorre definire tre versori degli assi,

$\hat {i} = \left (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)$ $\hat{j} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right)$ $\hat{k} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right)$

per cui

$\mathbf {w}= {w}_{x}\hat{i} + {w}_{y}\hat{j}+ {w}_{z}\hat{k}$

$\mathbf {w} = \left (\begin{matrix} {w}_{x} \\ {w}_{y}\\ {w}_{z} \end{matrix} \right)$

Operazioni tra vettori mediante le componenti

Utilizzando le componenti cartesiane v_x e v_y è possibile ridefinire le operazioni tra vettori in modo algebrico.

Somma:

$\left (\begin{matrix} {u}_{x} \\ {u}_{y} \end{matrix} \right)+\left (\begin{matrix} {v}_{x} \\ {v}_{y} \end{matrix} \right)=\left (\begin{matrix} {u}_{x}+{v}_{x} \\ {u}_{y}+{v}_{y} \end{matrix} \right)$

Prodotto per uno scalare

$a \left (\begin{matrix} {u}_{x} \\ {u}_{y} \end{matrix} \right)=\left (\begin{matrix} a{u}_{x} \\ a {u}_{y} \end{matrix} \right)$

Prodotto scalare

$\left (\begin{matrix} {u}_{x} \\ {u}_{y} \end{matrix} \right) \cdot \left (\begin{matrix} {v}_{x} \\ {v}_{y} \end{matrix} \right)= {u}_{x} {v}_{x}+{u}_{y} {v}_{y}$

Prodotto vettoriale tra due vettori del piano xy (il risultato è parallelo all'asse z)

$\left (\begin{matrix} {u}_{x} \\ {u}_{y}\\0 \end{matrix} \right) \times \left (\begin{matrix} {v}_{x} \\ {v}_{y} \\0\end{matrix} \right)= \left (\begin{matrix} 0 \\ 0\\{u}_{x} {v}_{y} - {v}_{x}{u}_{y} \end{matrix} \right)$

Voci correlate

Algebra vettoriale
Spazio vettoriale
Tensore