Variabile casuale normale

La variabile casuale Normale (detta pure variabile casuale Gaussiana o curva di Gauss o curva degli errori) è una variabile casuale continua con due parametri, indicata tradizionalmente con

N( μ ; σ² )

Si tratta di una delle più importanti variabili casuali, soprattutto continue, in quanto è, o la base di partenza per le altre v.c. (vedasi la Chi Quadrato, la t di Student, e la F di Snedecor) o la v.c. alla quale altre possono essere approssimate in certe situazioni limite (vedasi la Bernoulliana e la Poissoniana e il Teorema del limite centrale).

Indice
1 Metodologia

1.1 Teoremi

2 Storia
3 Articoli correlati

Metodologia

thumb|400px|right|Funzione di densità con indicazione di F(-1.96) La Gaussiana è la seguente funzione di densità di probabilità f(x) = \frac{ e^ {- \frac{\left( x - \mu \right)}{2 \sigma ^2}}}{\sigma \sqrt{2 \pi}}

con - \infty < x < \infty

La funzione generatrice dei momenti è g(t) = e^{ \mu t + \sigma ^2 \frac{t^2}{2} }

Il valore atteso e la varianza (che sono gli unici due parametri della v.c.) sono appunto μ e σ².

Non essendo possibile indicare in modo esplicito l'integrale della f(x), è necessario rendere in forma tabellare i valori della funzione di ripartizione (vedasi funzione di ripartizione). I più usati sono: 

68,3% = P{ μ -      σ < X <  μ +      σ }
 95,0% = P{ μ - 1,96 σ < X <  μ + 1,96 σ }
 95,5% = P{ μ - 2    σ < X <  μ + 2    σ }
 99,0% = P{ μ - 2,58 σ < X <  μ + 2,58 σ }
 99,7% = P{ μ - 3    σ < X <  μ + 3    σ }

Essendo f(x) una funzione simmetrica è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi, per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).

Dalla v.c.Normale si possono ottenere altre v.c. come la t di Student, la Chi Quadrato e la F di Snedecor, comprese le loro "varianti" non centrali (t non centrale, chi quadrato non centrale e F non centrale).

Teoremi

Se
X1, X2, ..., Xn sono n v.c. Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con valore atteso μi e varianza σ²i,
allora
la v.c. Y = α1X1 + α2X2 + ... + αnXn è a sua volta una v.c. Normale con valore atteso μ = α1μ1 + α2μ2 + ... + αnμn e varianza σ² = α²1μ1 + α²2μ2 + ... + α²nμn

Altri teoremi: Teorema di Cochran

Storia

Karl Friedrich Gauss descrisse la Normale studiando il modo dei corpi celesti. Altri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come i colpi di sfortuna nel gioco d'azzardo o la distribuzione dei tiri attorno ai bersagli. Da qui i nomi curva di Gauss e curva degli errori:

Nel 1835 Lambert-Adolphe-Jacques Quételet pubblicò uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una Gaussiana, ma non andò oltre.

Fu Francis Galton a intuire che la curva in questione poteva essere applicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori". Questa di idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò ad usare il termine Normale, in quanto rappresentava uno substrato normale ovvero la norma per qualsiasi distribuzione presente in natura.

Nel tentativo di confrontare curve diverse, in mancanza di strumenti adeguati, Galton si limitò ad usare due soli parametri: la media e la varianza, dando così inizio alla statistica parametrica.

Articoli correlati

See also: Variabile casuale normale, 1835, Carl Friedrich Gauss, Chi Quadrato, Francis Galton, Funzione di densità di probabilità, Funzione di ripartizione della variabile casuale Normale, Funzione gaussiana, Funzione generatrice dei momenti, Gioco d'azzardo