Variabile casuale gamma
La variabile casuale Gamma o variabile casuale Erlanghiana è una variabile casuale continua che viene definita da due parametri (indicati qui di seguito a e p). Per taluni la v.c. Gamma in senso stretto si riferisce al caso in cui a=1, mentre negli altri casi dovrebbe chiamarsi v.c. Erlanghiana.
Viene usata nell'ambito della teoria delle file d'attesa e delle telecomunicazioni, - dove venne introdotta nel 1917 da Agner Krarup Erlang - mentre in statistica viene usata per via di alcuni suoi casi particolari.
La funzione di densità di probabilità è
- f(x) = ap Γ(p)-1 e-ax xp-1 ( 0 < x < +∞ , a > 0 , p > 0)
dove la Γ() è la funzione Gamma.
La funzione generatrice dei momenti è
- g(t) = [ a / (a-t) ]p
percui
Si ricava che se p→+∞, allora β1 tende a zero e β1 tende a 3 (come la v.c. Normale), infatti per p→+∞ la v.c. Gamma tende ad una Normale N( p/a , p/a² ).
Alcuni casi particolari:
- Se a=1/2 e p=g/2 allora siamo nel caso della Chi Quadrato.
- Se p=1, allora siamo nel caso della variabile casuale Esponenziale Negativa
Un'altra delle caratteristiche è che se a=1 e p-1=k intero, allora la funzione di densità di probabilità diventa
- f(x) = e-xxk/k!
che è la Bayesiana della v.c.Poissoniana
Teoremi
- Se
- X e Y sono due v.c. Gamma in senso stretto (a=1) con il parametro p uguale ripettivamente a n e m
- allora
- Z=X/Y è distribuita come una v.c. Beta con i parametri p=n e q=m
Voci correlate
- Erlang B
- v.c. Esponenziale Negativa e Chi Quadrato: casi particolari della Gamma
- v.c. F di Snedecor (che tende ad una v.c. Gamma se il secondo grado di libertà è molto grande
- v.c. Beta
- statistica, variabile casuale, probabilità
Categoria:Statistica