Variabile casuale chi quadrato non centrale
La variabile casuale chi quadrato non centrale (in inglese: noncentral chi-square distribution) è una variabile casuale continua avente un parametro (detto grado di libertà) e un parametro λ detto di non centralità.
Trova applicazione tra l'altro nell'ambito dell'analisi della varianza e nei test di verifica d'ipotesi
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Metodologia
Costruzione della v.c.
Siano Z1, Z2, Z3,...,Zn variabili casuali indipendenti distribuite come una variabile casuale Normale standardizzata (vale a dire con media nulla e varianza unitaria), e siano inoltre a1, a2, a3,...,an delle costanti tali che
allora si indica con χ'² la v.c. chi quadro non centrale con n gradi di libertà costruita come
Funzione di densità di probabilità
La funzione di densità di probabilità f(x) può essere espressa in più modi, tra i quali quello proposto nel 1965 da D. Kerridge in Gives a very interesting probabilistic derivation (in Aust.J.Statist.)
per 0 < x < ∞
Funzione generatrice dei momenti
La funzione generatrice dei momenti della v.c.χ'² è data da
dalla quale si possono calcolare i primi quattro momenti
- μ1 = n + λ
- μ2 = 2 (n + 2 λ)
- μ3 = 8 (n + 3 λ)
- μ4 = 48 (n + 4 λ) + 4 (n + 2 λ)²
e l'i-esimo cumulante è dato da
- ki = 2i-1 (n + i λ)(i-1)!
Funzione di ripartizione e sue approssimazioni
La funzione di ripartizione F(x0)=Probabilità(x ≥ x0) può essere espressa in più modi
- F(x0) = e-λ/2 rΣ0∞1/r! (λ/2)r Q( x0 | n+2r )
dove
- Q(x|y) = x∫∞e-uuy/2-1du / 2y/2Γ(y/2)
M. L. Tiku propose nel 1965 in Biometrika (Uses Laguerre polynomials to represent the noncentral chi-quare distribution) la seguente formula ricorsiva per F(x0):
- F(x0) = Pn/2(x0/2) + rΣ1∞ P(r)(x0/2)
dove
- Pn/2(x) = Q( 2x | n )
- P(0)(x) = 0
- P(1)(x) = λ/2 e-x xn/2 / Γ(n/2+1)
- P(r)(x) = [(λ/2)²(r-2)P(r-2)(x)] / [r(r-1)(n/2+r-1)] - [λ/2 (n/2 + 2r - 3 - x)P(r-1)(x)] / [r(n/2 + r - 1)]
Trattandosi di formula non facili da calcolare, sono state proposte diverse approssimazioni.
Nel 1949 P. B. Patnaik propose in Biometrika (Points out some interesting geometrical features) l'approssimazione basata sui primi due momenti (Two-Moment Approximation)
- F(x0) ≈ y∫∞e-uua-1du / Γ(a)
- dove
- a = μ1² / μ2
- y = x0 μ1 / μ2
- Γ(·) è la funzione Gamma
Nel 1954 S. Abdel-Aty propose in Biometrika (Gives various Cornish-Fisher-type approximations) l'approssimazione normale della radice cubica (Cube root Normal approximation)
Nel 1959 Egon Pearson propose in Biometrika (Studies the accuracy of the three-moment chi-square approximation) l'approssimazione basata sul terzo momento (Three-Moment Approximation)
- F(x0) ≈ y∫∞e-uua-1du / Γ(a)
- dove
- a = 4 μ2³ / μ3²
- y = 2 (x0 + 8λ²/μ3) μ2 / μ3
Somma di v.c.χ'²
Siano X'1, X'2, ..., X'k v.c.χ'² con ni gradi di libertà e parametro di non centralità λi e sia X' la v.c. della loro somma
allora X' è a sua volta una v.c. distribuita come una v.c.χ'² con n = Σni gradi di libertà e il parametro di non centralità λ = Σλi
Rapporto tra una v.c.χ'² e una v.c.χ²
Siano le v.c. X'1 e X2 distribuite rispettivamente come una v.c.χ'² e una v.c.χ², allora il rapporto
è una variabile casuale F non centrale con n1, n2 gradi di libertà e parametro di non centralità pari a λ
Il rapporto
è invece una variabile casuale Beta non centrale con i parametri n1/2, n2/2 e λ
Rapporto tra una v.c. Normale non centrale e una v.c.χ²
Siano Z una v.c. Normale con varianza unitaria e media nulla Z~N(0;1), e Xn una v.c.χ² (centrale) con n gradi di libertà, allora
è distribuita come una variabile casuale t non centrale con n gradi di libertà e parametro di non centralità pari a λ.
Voci correlate
Categoria:Statistica