Variabile casuale

In statistica i termini "aleatorio", "casuale", "stocastico" sono aggettivi che si associano agli enti ottenuti come risultati di una prova.

Una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica) è una funzione "misurabile" dallo spazio campionario allo spazio euclideo.

Secondo la definizione di Lindgren (1976): una funzione X definita sui punti dello spazio campionario ω si dice misurabile rispetto al campo di Borel ß se e solo se l'evento {ω| X(ω)<=λ} appartiene a ß per ogni λ.

Le funzioni che rappresentano le variabile casuali devono avere le seguenti caratteristiche:

Variabili casuali che dipendono da un parametro t vengono considerati dei processi stocastici.

Alcune variabili casuali utilizzate in statistica


Teoremi


Se
X1, X2, ... , Xn sono v.c. Bernoulliane uguali e indipendenti
allora
X = X1 + X2 +...+ Xn, è una v.c. Binomiale B(n;p)

Se
X è una variabile casuale Binomiale B(n;p) con n molto grande (orientativamente n>50) e p molto piccolo, tale che n p è, orientativamente, minore di 10 e p(1-p) quasi uguale a p,
allora
la binomiale può essere approssimata con una variabile casuale Poissoniana ove λ = n p.

Se
X è una variabile casuale Binomiale B(n;p) con n molto grande, ma np>10 (e dunque non vale l'approssimazione con la v.c. poissoniana),
allora
la binomiale può essere approssimata con una variabile casuale Normale con valore atteso pari a np e varianza uguale a npq: N( np ; npq).

Se
X e Y sono due variabili casuali indipendenti, distribuite come una v.c. poissoniana con parametro rispettivamente λx e λy
allora
Z=X+Y è a sua volta una v.c. Poissoniana con parametro λz = λx+λy

Se
X è una variabile casuale Beta con p=q=1
allora
si tratta di una v.c. rettangolare con i parametri a e b

Se
X e Y sono due v.c. Gamma in senso stretto (a=1) con il parametro p uguale ripettivamente a n e m
allora
Z=X/Y è distribuita come una v.c. Beta con i parametri p=n e q=m

Se
X e Y sono due v.c. identiche e indipendenti distribuite come una variabile casuale Esponenziale Negativa con parametro a
allora
Z=X+Y è una v.c. Gamma con parametri a e p=2

La v.c. Esponenziale Negativa viene usata in relazione alla v.c. Poissoniana in quanto:

se
il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo è distribuito come una Poissoniana (con parametro λ),
allora
l'intervallo di tempo che passa tra due successi è distribuito come una Esponenziale Negativa con a=λ

e viceversa.


Se
X1, X2, ..., Xn sono n v.c. χ² tra di loro indipendenti, ciascuna con gi gradi di libertà,
allora
la v.c. Y = X1 + X2 + ... + Xn è a sua volta una v.c. χ² con g gradi di libertà, ove g = g1 + g2 + ... + gn

Se
Z è una v.c. Normale standardizzata N(0,1), e X=Z²
allora
X è una v.c. χ² con 1 grado di libertà.

Considerato un campione di n elementi estratto da una popolazione normale Z(μ;σ²) indicando con S² la distribuzione della varianza campionaria sarà:

(n S²/σ² ) ~ χ²n-1


Se
X è una v.c. t di Student e g → +∞
allora
X tende ad una v.c. Normale standardizzata (μ=0 e σ²=1)

Se
Z~N(0;1) e X~χ²g,
allora
T=Z/√X/g è distribuita come una v.c. t di Student con g gradi di libertà.

Se
X è una v.c. t di Student con g=1
allora
si ottiene la v.c. di Cauchy.

variabile casuale F di Snedecor:

Se
il secondo grado di libertà è molto grande,
allora
la F di Snedecor tende verso una v.c. Gamma con a=p=g/2
Se
entrambi i gradi di libertà sono molto grandi,
allora
si può usare la Normale
Se
il primo grado di libertà è pari ad uno,
allora
si può usare la v.c. t di Student

Se
Xg1 e Xg2 sono v.c. Chi Quadrato con ripsettivamente g1 e g2 gradi di libertà
allora
Y = [Xg1/g1] / [Xg2/g2] è distribuita come una variabile casuale F di Snedecor con g1 e g2 gradi di liberta;

Se
in un processo markoviano (continuo nel tempo) nascite-morti, con le condizioni iniziali Pn(0)=1 per n=0, e =0 altrimenti, si osserva un processo di pure nascite con tasso costante λ
allora
si ottiene la soluzione Pn(t)=e-λt (λt)k/k!, ovvero una variabile casuale Poissoniana con parametro λt

See also: Variabile casuale, Chi Quadrato, Funzione, Legge degli eventi rari, Processo markoviano, Processo stocastico, Spazio campionario, Statistica, Valore atteso, Variabile casuale Bernoulliana