Ultimo teorema di Fermat
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L'ultimo Teorema di Fermat afferma che non esistono soluzioni intere positive all'equazione: an + bn = cn per n > 2
Questo teorema fu formulato da Pierre de Fermat, matematico francese del 1600, soprannominato il principe dei dilettanti da E.T. Bell. Egli non fornì però una dimostrazione, che fu cercata invano nei secoli a venire.
Fermat scrisse, a proposito di essa, ai margini di una copia dell'Arithmetica di Diofanto, sulla quale era solito formulare molte delle sue famose teorie:
- "Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina".
Molti matematici provarono a fornire una dimostrazione al semplice teorema, formulato dal matematico francese a partire dal famosissimo e conosciutissimo teorema di Pitagora.
La dimostrazione del Teorema di Fermat fu cercata tra gli altri da:
- Eulero, che, nel XVII secolo, formulò una dimostrazione valida solo per n=3,
- Adrien-Marie Legendre, che risolse il caso n=5,
- Sophie Germain, che, lavorando sul teorema, scoprì che esso era probabilmente vero per n uguale ad un particolare numero primo p, tale che 2p + 1 è anch'esso primo: i primi di Sophie Germain.
Solo nel 1994, dopo 7 anni di dedizione completa al problema, e dopo un falso allarme nel 1993, Andrew Wiles, affascinato dal teorema che da bambino sognava di risolvere, riuscì a dare finalmente una dimostrazione, utilizzando però vari elementi di matematica ed algebra moderna, che Fermat non poteva conoscere.
È chiaro quindi come la soluzione di Wiles (pubblicata nel 1995 e premiata due anni dopo, il 27 giugno 1997 con il Premio Wolfshehl consistente in una borsa di 50.000 dollari) non sia la stessa che Fermat affermava di aver trovato.
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Il contesto matematico
L'ultimo teorema di Fermat è una generalizzazione dell’equazione diofantea a2 + b2 = c2, la quale è legata al teorema di Pitagora . Gli antichi Greci e Babilonesi sapevano che questa equazione ha delle soluzioni intere, come (3.4.5) (32 + 42 = 52) o (5.12.13). Queste soluzioni sono conosciute come terne pitagoriche e ne esistono infinite (anche escludendo le soluzioni banali per cui a, b e c hanno un divisore comune). Secondo l'ultimo teorema di Fermat, non esistono soluzioni quando l'esponente 2 è sostituito da un numero intero maggiore. Mentre il teorema stesso non ha conosciuto usi diretti (cioè non è stato usato per dimostrare qualunque altro teorema), è stato indicato per essere collegato a molti altri argomenti matematici e non è soltanto una curiosità matematica di poca importanza. Inoltre, la ricerca di una dimostrazione ha dato il via a un'indagine su molti importanti argomenti matematici.
Le origini
Il teorema deve essere dimostrato soltanto per n=4 e nel caso in cui n è un numero primo dispari: se infatti si trovasse una soluzione akp + bkp = ckp, si avrebbe immediatamente una soluzione (ak)p + (bk)p = (ck)p.
Nel corso degli anni il teorema venne dimostrato per un numero sempre maggiore di esponenti speciali n, ma il caso generale rimaneva evasivo. Fermat stesso ha dimostrato in un altro suo lavoro il caso n=4, anzi il risultato più forte che non esiste una terna (a,b,c) tale che a4 + b4 = c2, mentre Eulero ha dimostrato il teorema per n=3. Il caso n=5 è stato dimostrato da Dirichlet e Legendre nel 1825 e il caso n=7 da Gabriel Lamé nel 1839. Nel 1983 Gerd Faltings dimostrò la congettura di Mordell, che implica che per ogni n > 2, c'è al massimo un numero finito di interi coprimi a, b e c con an + bn = cn.
La dimostrazione
Utilizzando sofisticati strumenti della geometria algebrica (in particolare curve ellittiche e forme modulari), della teoria di Galois e dell’algebra di Hecke, Andrew Wiles, dell'università di Princeton, con l'aiuto del suo primo studente Richard Taylor, diede una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat che è stato pubblicato nel 1995 nel giornale Annali della Matematica. Nel 1986, Ken Ribet aveva dimostrato la congettura epsilon di Gerhard Frey che ogni contro-esempio an + bn = cn all'ultimo teorema di Fermat avrebbe prodotto una curva ellittica definita come:
Quest'ultima congettura propone un collegamento profondo fra le curve ellittiche e le forme modulari. Wiles e Taylor potevano stabilire un caso speciale della congettura di Taniyama-Shimura sufficiente per escludere tali contro-esempi in seguito all'ultimo teorema di Fermat. La storia della dimostrazione è così notevole quanto il mistero del teorema in sé. Wiles trascorre sette anni per risolvere quasi tutti i particolari da solo e con la massima segretezza (tranne una fase finale di revisione per cui si è avvalso dell'aiuto del suo collega di Princeton, Nick Katz). Quando ha annunciato la dimostrazione nel corso di tre conferenze tenute all'università di Cambridge tra il 21-23 giugno 1993, ha stupito il pubblico per il numero di idee e di costruzioni usate nella dimostrazione. Purtroppo, dopo un controllo più ravvicinato è stato scoperto un serio errore che ha sembrato condurre alla ripartizione di questa dimostrazione originale. Wiles e Taylor allora hanno trascorso circa un anno per far rivivere la dimostrazione e nel settembre 1994, hanno dato la dimostrazione finale e corretta utilizzando alcune tecniche differenti che Wiles aveva scartato nei suoi primi tentavi.
Fermat ha dato realmente una dimostrazione?
La citazione in latino diceva:
“Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratorum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos euisdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet”
“È impossibile separare un cubo in due cubi, o una potenza quarta in due potenze quarte, o in generale, tutte le potenze maggiori di due come somma della stessa potenza. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina”
Ci sono dei dubbi riguardo la rivendicazione di Fermat di aver trovato una dimostrazione veramente importante, che fosse corretta. La lunghezza della dimostrazione di Andrew Wiles è circa 200 pagine ed è oltre la comprensione della maggior parte dei matematici di oggi. È abbastanza possibile che ci sia una dimostrazione essenzialmente più corta e più elementare nei suoi metodi; le dimostrazioni iniziali della maggior parte dei risultati non sono tipicamente le più dirette. I metodi utilizzati da Wiles erano sconosciuti quando Fermat scriveva e la maggior parte crede improbabile che Fermat sia riuscito a derivare tutta la matematica necessaria per dimostrare una soluzione. Andrew Wiles stesso ha affermato "è impossibile; questa è una dimostrazione del XX secolo". Le alternative sono che ci sia una dimostrazione più semplice che tutti gli altri matematici fino a questo punto hanno tralasciato, o che Fermat si fosse sbagliato. Una dimostrazione plausibile, ma difettosa che potesse essere accessibile a Fermat è stata suggerita. È basata sul presupposto erroneo che l'unicità della scomposizione in fattori primi funziona in tutti gli anelli degli elementi integrali dei campi sui numeri algebrici. Questa è una spiegazione accettabile per molti esperti della teoria dei numeri, considerando che i maggiori matematici successivi che lavorano in questo campo hanno seguito lo stesso percorso. Il fatto che Fermat non abbia mai pubblicato una dimostrazione tentata, o persino pubblicamente annunciato che ne avesse una, suggerisce che può aver avuto successivi ripensamenti e trascurato semplicemente di cancellare una sua personale nota marginale. Successivamente, Fermat ha pubblicato una dimostrazione per il caso: a4 + b4 = c4. Se realmente avesse fornito una dimostrazione per il teorema generale, è forse meno probabile che avesse pubblicato una dimostrazione per un caso particolare. Le convenzioni accademiche del suo tempo non erano, tuttavia, quelle che si sono applicate dalla metà del XVIII secolo in poi e questa discussione è nel migliore dei casi inconsistente nella prospettiva storica.
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Bibliografia
- Hofstadter, D.R.,"Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante", 1979, gli Adelphi ISBN 8845907554
- Aczel, A., "L'enigma di Fermat", 1998, Net ISBN 8851520828
- Singh, S., "L'ultimo teorema di Fermat", 1999, Biblioteca Universale Rizzoli ISBN 8817112917
Collegamenti esterni
- Post su sci.math riportante il testo dell'annuncio della dimostrazione di Wiles da parte di Karl Rubin