Trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier è una trasformata dal dominio del tempo al dominio delle frequenze. In altre parole, si tratta di esportare un problema dalla sua trattazione temporale alla sua trattazione utilizzando le componenti in frequenza, che in molti casi offre un metodo di analisi (analisi di Fourier) più efficace. La trasformata di Fourier si basa sulla serie di Fourier, e anzi si può dire che è una derivazione di essa.

La trasformazione secondo Fourier della funzione x(t) è indicata con il simbolo $\mathcal{F}\left \{x(t) \right \}$ , o, equivalentemente, $X\left(f \right)$ . Inoltre, sottolineando la biunivocità della trasformata, si scrive anche x(t) $\leftrightarrow$ X(f).

Dato un segnale x(t) la sua trasformata di Fourier è definita come:

$\mathcal{F}\left \{x\left(t \right) \right \} = X\left(f \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\cdot e^{-j2\pi ft}\, dt$

Viceversa l'antitrasformata di Fourier è definita come:

$\mathcal{F}^{-1}\left \{X\left(f \right) \right \} = x\left(t \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f)\cdot e^{j2\pi ft}\, df$

Indice

1 Esistenza della trasformata di Fourier

2 Proprietà della trasformata di Fourier

3 Operazioni nel dominio del tempo e delle frequenze

4 Voci correlate

Esistenza della trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier esiste se si verificano le seguenti condizioni di Dirichlet:

$\int_{-\infty}^{+\infty}\left | x\left(t \right) \right |\, dt < +\infty$ , cioè x(t) è assolutamente integrabile;
x(t) è continua, escluso al più un numero finito di discontinuità del primo tipo, in qualunque intervallo $t_1 \le t \le t_2$ ;
x(t) ha un minimo finito di max e min in qualsiasi intervallo $t_1 \le t \le t_2$ .

Proprietà della trasformata di Fourier

Linearità:

la funzione $x\left( t \right) = a_1x_1\left( t \right) + a_2x_2\left( t \right)$ ha come TdF $X\left( f \right) = a_1X_1\left( f \right) + a_2X_2\left( f \right)$ .

Trasformata di funzioni reali:

se x(t) è una funzione reale, allora X(f) = X*(-f), dove l'operatore * indica il complesso coniugato.

Inoltre:

x(t) reale e pari $\rightarrow$ X(f) reale e pari.

x(t) reale e dispari $\rightarrow$ X(f) immaginaria e dispari.

Trasformata di Fourier di funzioni complesse:

se x(t) $\leftrightarrow$ X(f), allora x*(t) $\leftrightarrow$ X*(-f)

Valori nell'origine:

data la funzione x(t) con TdF X(f) valgono le seguenti relazioni:

$x\left(0\right) = \int_{-\infty}^{+\infty} X\left(f\right) df$

$X\left(0\right) = \int_{-\infty}^{+\infty} x\left(t\right) dt$

Dualità:

Se x(t) $\leftrightarrow$ X(f), allora X(t) $\leftrightarrow$ x(-f)

Operazioni nel dominio del tempo e delle frequenze

Data x(t) $\leftrightarrow$ X(f)

Traslazione nei tempi:

la funzione $y\left( t\right) = x\left( t - \tau\right)$

ha come TdF $Y\left( f\right) = X\left( f\right)\cdot e^{-j2\pi f\tau}$ .

Traslazione nelle frequenze:

la funzione $y\left( t\right) = x\left( t\right)\cdot e^{-j2\pi f_0t}$

ha come FdT $Y\left( f\right) = X\left( f + f_0\right)$ .

Cambiamento di scala:

$x\left(\alpha t\right) \leftrightarrow \frac{1}{\left| \alpha\right|}X\left( \frac{f}{\alpha}\right)$

Derivata nel tempo:

$\frac{d}{dt}x\left(t\right) \leftrightarrow j2\pi f\cdot X\left(f\right)$

Integrazione nel tempo:

$\int_{-\infty}^{t} x\left(t\right) dt \leftrightarrow \frac{1}{j2\pi f}X\left(f\right)$ (nell'ipotesi X(0) = 0)

Moltiplicazione nelle frequenze:

dati i segnali x(t) e Y(t) con TdF X(f) e Y(f)

il segnale $z\left(t\right) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)y(t-\tau) d\tau = x\left(t\right) * y\left(t\right)$ ha come TdF Z(f) = X(f)Y(f)

Nota: l'operazione denotata da $*$ si chiama "(integrale di) convoluzione".

Moltiplicazione nei tempi:

il segnale $z\left(t\right) = x\left(t\right) \cdot y\left(t\right)$ ha come TdF $Z\left(f\right) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\alpha)y(t-\alpha) d\alpha = X\left(f\right) * Y\left(f\right)$ .

Trasformata di Fourier

Esistenza della trasformata di Fourier

Proprietà della trasformata di Fourier

Operazioni nel dominio del tempo e delle frequenze

Voci correlate

See also: Trasformata di Fourier, Analisi di Fourier, Numeri complessi, Trasformata di Fourier discreta, Trasformata di Laplace