Topologia

La topologia o studio dei luoghi (dal greco τοπος, luogo, e λογος) é una delle più importanti branche della matematica moderna. Si caratterizza come lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature". Concetti fondamentali come convergenza, limite, continuità, connessione o compattezza trovano nella topologia la loro migliore formalizzazione. La topologia si basa essenzialmente sui concetti di spazio topologico e omeomorfismo. Col termine topologia si indica anche la collezione di aperti che definisce uno spazio topologico.

Per esempio un cubo solido e una sfera solida sono omeomorfi, cioè si può deformare l'uno fino ad ottenere l'altro senza ricorrere a nessuna incollatura, strappo o sovrapposizione (trasformazione bicontinua uno a uno): non è possibile invece, per esempio, deformare una sfera in un cerchio con lo stesso sistema, perché la dimensione di un oggetto è una proprietà topologica, che non cambia con le trasformazioni. In questo senso la topologia indaga le proprietà più profonde delle figure geometriche.

Il glossario topologico contiene definizioni di termini usati comunemente in topologia.

Indice

1 Storia

2 Introduzione elementare

3 Alcuni teoremi di topologia generale

4 Alcune nozioni utili dalla topologia algebrica

5 Schema generale della teoria

6 Generalizzazioni

7 Articoli correlati

8 Collegamenti esterni

Storia

L'antenata della topologia è stata la geometria antica. L'articolo di Eulero del 1736 sui Sette ponti di Königsberg è visto come uno dei primi risultati che non dipendono da nessun tipo di misura, vale a dire uno dei primi risultati topologici.

Georg Cantor, l'inventore della teoria degli insiemi, iniziò a studiare la teoria degli insiemi di punti nello spazio euclideo verso la fine del XIX secolo.

Maurice Fréchet, unificando il lavoro sugli spazi di funzioni di Cantor, Vito Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli e altri, nel 1906 introdusse il concetto di spazio metrico.

Nel 1914 Felix Hausdorff, generalizzando la nozione di spazio metrico, coniò il termine di spazio topologico e definì quello che oggi è detto spazio di Hausdorff.

Finalmente, nel 1922 Kuratowsky, con una ulteriore lieve generalizzazione fornì il concetto odierno di spazio topologico.

Introduzione elementare

Gli spazi topologici sono usati quotidianamente dall'analisi matematica, dall'algebra astratta, dalla geometria: questo rende la topologia una delle grandi idee unificanti della matematica. La topologia generale (o topologia degli insiemi di punti) definisce e studia alcune proprietà utili degli spazi e delle mappe, come la loro connessione, la compattezza e la continuità. La topologia algebrica invece è un potente strumento per studiare gli spazi topologici e le mappe fra essi: essa assegna loro invarianti "discreti", più calcolabili, spesso servendosi di funtori. Le idee della topologia algebrica hanno avuto una grande influenza sull'algebra e sulla geometria algebrica.

La motivazione profonda della topologia è che alcuni problemi geometrici non dipendono dalla forma esatta degli oggetti coinvolti, ma piuttosto "dal modo in cui questi sono connessi". Per esempio il teorema della sfera pelosa della topologia algebrica dice che "non si può pettinare in modo continuo il pelo di una sfera pelosa". Questo fatto è evidente per molte persone, anche se probabilmente non lo riconoscerebbero leggendo l'enunciato formale del teorema, e cioè che non esiste un campo vettoriale continuo e non nullo di vettori tangenti alla sfera stessa. Come per i Ponti di Königsberg, il risultato non dipende dalla esatta forma della sfera, ma si applica anche a forme sferiche non regolari e in generale ad ogni tipo di oggetto (purchè la sua superficie soddisfi certi requisiti di continuità e regolarità) che non abbia buchi.

Per trattare problemi che non considerano la forma esatta degli oggetti, bisogna mettere bene in chiaro quali sono le proprietà degli oggetti su cui possiamo contare: da questo bisogno nasce la nozione di equivalenza topologica. L'impossibilità di attraversare ogni ponte una e una sola volta è vera per ogni configurazione di ponti topologicamente equivalente a quelli di Königsberg, e il problema della sfera pelosa si applica ad ogni spazio topologicamente equivalente a una sfera. Formalmente, due spazi sono topologicamente equivalenti se esiste un omeomorfismo fra loro: in questo caso sono detti omeomorfici e sono, ai fini topologici, esattamente identici.

Un omeomorfismo è formalmente definito come una funzione biettiva continua dotata di una inversa continua, il che non è molto intuitivo anche per chi conosce già il significato delle parole nella definizione. Una definizione meno formale restituisce meglio il senso di quanto sopra: due spazi sono topologicamente equivalenti se è possibile trasformare l'uno nell'altro senza tagliare nè incollare insieme pezzi dei due.

Un semplice esercizio introduttivo è di classificare le lettere minuscole dell'alfabeto per classi di equivalenza topologica: per semplicità assumiamo che le linee delle lettere abbiano larghezza finita e diversa da zero. In quasi tutti i font di uso comune possiamo trovare una classe {a,b,d,e,o,p,q} di lettere con un buco, una classe {c,f,h,k,l,m,n,r,s,t,u,v,w,x,y,z} di lettere senza buchi e una classe {i,j} di lettere costituite da due parti distinte (a seconda del font, la g può appartenere alla classe con un solo buco o costituire l'unico elemento della classe di lettere con due buchi). Per un esercizio più complicato, si può assumere che le linee abbiano larghezza zero: si possono ottenere molte classificazioni diverse a seconda del tipo di font che viene usato.

Alcuni teoremi di topologia generale

Ogni intervallo chiuso e limitato in R è un compatto. Di più: in Rⁿ, un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato. (Vedi il Teorema di Heine-Borel).
Ogni immagine continua di uno spazio compatto è compatta.
Teorema di Tychonoff: qualunque prodotto di spazi compatti è compatto.
Un sottospazio compatto di un sottospazio di Hausdorff è chiuso.
Ogni successione di punti in uno spazio metrico compatto ha (almeno) una sottosuccessione convergente.
Ogni intervallo in R è connesso.
L'iimagine continua di uno spazio connesso è connessa.
Uno spazio metrico è anche uno spazio di Hausdorff, e anche normale e paracompatto.
Il teorema di metrizzazione fornisce condizioni necessarie e sufficienti per una topologia su uno spazio metrico.
Il teorema dell'estensione di Tietze: In unospazio normale, ogni funzione continua a valori reali definita su un sottospazio chiuso può essere estesa ad una mappa continua definita sull'intero spazio.
Il teorema delle categorie di Baire: Se X è uno spazio metrico completo o uno spazio di Hausdorff localmente compatto, allora l'interno di ogni unione di insiemi numerabili discreti è vuoto.
Su uno spazio di Hausdorff paracompatto, ogni ricoprimento aperto ammette una partizione di unità subordinata alla copertura.
Ogni spazio connesso per archi, localmente connesso per archi e semplicemente connesso semi-localmente ha un ricoprimento universale.

Alcune nozioni utili dalla topologia algebrica

Vedi anche elenco di argomenti di topologia algebrica.

Omologia e coomologia: numeri di Betti, caratteristica di Eulero.
Applicazioni interessanti: teorema del punto fisso di Brouwer, teorema di Borsuk-Ulam, teorema del sandwich al prosciutto.
Gruppi omotopici (compreso il gruppo fondamentale).
Classi di Chern, classi di Stiefel Whitney, classi di Pontrjagin.

Schema generale della teoria

successioni di fibre: successioni di Puppe, calcoli
Gruppi di sfere omotopici
Teoria dell'ostruzione
K-teorie: KO-teora, K-teorie algebriche
teoria della omotopia stabile
Teorema della rappresentabilità di Brown
(Co)bordismo
Firme
BP di Brown-Peterson e K-teoria Morava
Ostruzione chirurgica
H-spaces, infinite loop spaces, A_∞ rings
Teoria omotopica degli schemi affini
Coomologia di intersezione

Generalizzazioni

A volte serve usare gli strumenti della topologia, ma non è disponibile un "insieme di punti". Si può allora ricorrere alla topologia formale, basata sull'ordinamento e la convergenza di insiemi aperti come fondamento teorico; mentre la topologie di Grothendieck sono strutture particolari definite su categorie formali che permettono la definizione di sheaves su tali categorie, e con esse la definizione di teorie di coomologia molto generali.

Collegamenti esterni

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