Teoria dei gruppi
La teoria dei gruppi è la branca della matematica che si occupa dello studio dei gruppi. In astratto, e in breve, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da una operazione binaria dotata di unità e per la quale ogni elemento della struttura possiede elemento inverso.
Tipici esempi di gruppi sono forniti dai gruppi di rotazioni dello spazio, cioè da insiemi costituiti da tutte le rotazioni dello spazio che trasformano in se stessa una certa figura geometrica, ad esempio un cubo, un prisma regolare o una sfera. La trasformazione che non modifica nulla può svolgere il ruolo di unità; componendo due di queste rotazioni si ottiene un'altra rotazione che trasforma in se la figura; inoltre insieme ad ogni rotazione si individua la rotazione inversa. Quindi un gruppo di rotazioni soddisfa le richieste con le quali abbiamo caratterizzato in astratto un gruppo.
Una buona gamma di definizioni di termini utilizzati per sviluppare la teoria dei gruppi è raccolta nel Glossario di teoria dei gruppi.
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Introduzione discorsiva
I gruppi sono utilizzati in tutte le branche della matematica e in molti problemi della fisica e delle altre scienze; spesso servono a catturare la simmetria intrinseca di altre strutture, presentandosi nella forma di gruppi di automorfismi. Una simmetria interna di una struttura in genere risulta associata ad una proprietà invariante e l'insieme delle trasformazioni che conservano questa proprietà invariante, munito dell'operazione di composizione delle trasformazioni, costituisce un gruppo chiamato gruppo di simmetria.
Nella teoria di Galois, la maggiore radice storica della nozione di gruppo, si usano i gruppi par descrivee le simmetrie delle equazioni soddisfate dalle soluzioni di un'equazione polinomiale. I gruppi solubili hanno questo nome per il loro ruolo preminente in questa teoria.
I gruppi abeliani si collocano alla base di numerose altre strutture studiate nell'algebra astratta: anelli, campi, moduli, ... .
In topologia algebrica si usano i gruppi per descrivere invarianti degli spazi topologici (il nome del sottogruppo di torsione di un gruppo infinito mostra la discendenza meccanica di questo campo di indagine). Gli "invarianti" hanno questo nome in quanto sono definiti in modo da non cambiare quando lo spazio viene sottoposto a qualche deformazione. Esempi digruppi in topologia sono il gruppo fondamentale, i gruppi di omologia e i gruppi di coomologia.
La nozione di gruppo di Lie (così chiamato in onore del matematico Sophus Lie) riveste grande importanza nello studio delle equazioni differenziali e delle varietà; essi richiedono l'analisi e la teoria dei gruppi e costituiscono gli strumenti adatti a descrivere le simmetrie delle strutture analitiche. L'analisi di questi gruppi e di altri analoghi viene chiamata analisi armonica.
In combinatorica la nozione di gruppo di permutazioni e la nozione di azione di gruppo sono spesso utilizzati per semplificare il conteggio di un insieme di configurazioni; si veda in particolare il lemma di Burnside.
Alcuni teoremi caratterizzanti la teoria
- Risultati di base nell'articolo Teoria dei gruppi elementare
- Lemma della farfalla
- Teorema fundamentale sugli omomorfismi
- Teorema di Jordan-Hölder
- Teorema di Krull-Schmidt
- Teorema di Lagrange
- Teoremi di Sylow
Generalizzazioni
In algebra astratta si incontrano varie strutture non molto diverse dai gruppi e che si possono considerare ottenute dalla definizione di gruppo indebolendo qualcuna delle richieste che si impongono ai gruppi.
- Se si lasci acadere la richiesta che ogni elemento della struttura possegga elemento inverso si ottiene un monoide. L'insieme delle endofunzioni di un certo insieme, che non si limita alle endofunzioni invertibili, cioè allempermutazioni, costituisce un monoide.
- Se si lascia cadere anche la richiesta di avere una unità si ottiene un semigruppo.
- Alternativamente, se si abbandona la richiesta che l'operazione sia be associativa ma si mantiene la possibilità della divisione si ottiene un loop.
- Se oltre alla associatività si lascia cadere la richiesta di una unità si ottiene un quasigruppo.
- Se si considera solo un insieme munito di un'operazione binaria abbiamo un magma.
Un gruppoide è simile a un gruppo, ma non ha definita la composizione a * b per tutte le coppie di elementi (a, b); i gruppoidi servono allo studio di tipi più complessi di simmetrie, molti relativi a strutture topologiche e analitiche. Essi costituiscono particolari tipi di categorie.
Altre generalizzazioni dei gruppi sono i supergruppi e le algebre di Hopf.
I gruppi di Lie, i gruppi algebrici e i gruppi topologicio sono esempi di oggetti gruppi, cioè strutture del genere gruppo che costituiscono una categoria più specifica dell'ordinaria categoria degli insiemi.
I gruppi abeliani costituiscono il prototipo della nozione di categoria abeiana, nozione che possiede applicazioni agli spazi vettoriali e ad altre strutture.
Le leggi di gruppo formale sono particolari serie formali di potenze che posseggono proprietà molto simili a quelle di un'operazione di gruppo.
Applicazioni della teoria dei gruppi
La comprensione della teoria dei gruppi è importante anche nelle scienze fisiche. In chimica i gruppi vengono utilizzati per classificare strutture cristalline, poliedri regolari e simmetrie delle molecole.
In fisica i gruppi sono importanti in quanto riescono a descrivere le simmetrie alle quali le leggi della fisica sembrano ubbidire. I fisici sono profondamente interessati alle rappresentazioni dei gruppi , specialmente alle rappresentazioni dei gruppi di Lie, in quanto queste rapresentazioni spesso segnano la strada delle teorie fisiche "possibili".
- Esempi nella fisica: Modello standard, Teoria di Gauge
Un'altra applicazione riguarda la teoria degli insiemi musicale.
Una definizione paradossale
James Roy Newman propone la seguente definizione della teoria dei gruppi:
- È una branca della matematica nella quale si fa qualche cosa a qualche cosa e si confrontano i risultati ottenuti con quelli che si ottengono facendo la stessa cosa a qualcos'altro e con quelli che si ottengono facendo un'altra cosa alla stessa cosa.
Voci correlate
Per orientarsi sopra un argomento complesso e articolato come la teoria di gruppi, oltre alla Categoria:Teoria dei gruppi, può servire l'Elenco di articoli di teoria dei gruppi.
Collegamenti esterni
- Bibliografia sulla teoria dei gruppi nella Eric's Scientific Book List