Teorema di Noether

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Questo è un articolo di Fisica, che presuppone la conoscenza dei seguenti principi:

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Il teorema di Noether sancisce un legame tra l'invarianza di una certa quantità durante le trasformazioni in uno o più campi e una legge di conservazione di una "corrente", detta appunto corrente di Noether. Dimostrato dalla matematica Emmy Noether nel 1905, fu considerato da Einstein un monumento del pensiero umano.

Dimostrazione

Se una certa quantità è invariante per una trasformazione in un campo, ciò implica che la corrispondente lagrangiana è simmetrica, ossia se il campo ψ si trasforma, per una trasformazione infinitesima α come

$\psi \rarr \psi + \alpha \Delta \psi$

la lagrangiana $\mathcal {L}$ , dovendo essere invariante fino ai termini di superficie, deve diventare

$\mathcal {L} \rarr \mathcal {L} + \alpha \partial _\mu \mathcal {J}^\mu$

dove $\mathcal {J}$ rappresenta una corrente di una qualche quantità, che fluisce attraverso la superficie. In generale, la variazione di $\mathcal {L}$ si può scrivere come

$\alpha \Delta \mathcal {L} = \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial \psi} ( \alpha \Delta \psi) + \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \partial _\mu ( \alpha \Delta \psi)$

Considerando la derivata di un prodotto, il secondo termine si può riscrivere come

$\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right) - \alpha \Delta \psi\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \right)$

Sostituendo e prendendo a fattor comune αΔψ, si ottiene

$- \alpha \Delta \psi \left( \partial _\mu \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} -\frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \right) + \partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right)$

Ricordando l'equazione di Eulero-Lagrange, quanto sopra diventa

$\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right)$

ossia

$\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right) = \alpha \partial _\mu \mathcal {J}^\mu$

Riscrivendo il tutto, si può vedere come ci sia una conservazione della corrente $\mathcal {J}$ notando che

$\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \Delta \psi - \mathcal {J}^\mu \right) = 0$

Questo risultato dimostra il teorema di Noether.

Dimostrazione alternativa

Definizione: si dice ammissibile una trasformazione invertibile di coordinate $\vec{q}=\vec{f}(\vec{Q})$ per un dato sistema se e soltanto se la lagrangiana L del sistema è invariante per la trasformazione ovvero se: $L(\vec{q}, \vec{\dot{q}})=L(\vec{Q}, \vec{\dot{Q}})$ .

Teorema di Noether: Se un sistema lagrangiano ammette un gruppo di trasformazioni ad un parametro $\vec{q}=\vec{f}(\vec{Q},s)$ allora le eq. di Lagrange del sistema hanno un integrale primo dato da $I(\vec{q}, \vec{\dot{q}})=\sum_{i=1}^{l} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial f_i}{\partial s} (\vec{q},0)$ .

Dimostrazione: se $\vec{q}(t)$ è una soluzione delle equazioni di Lagrange allora anche $\vec{F}(t,s)=\vec{f}(\vec{q}(t),s)$ lo è. Ma per l'invarianza di L posso scrivere
$\frac{\partial}{\partial s} L(\vec{F}, \vec{\dot{F}}) |_{s=0} = \sum_{i=1}^{l} (\frac{\partial L}{\partial q_i} (\vec{F}, \vec{\dot{F}}) \frac{\partial F_i}{\partial s} (t,0)+ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} (\vec{F}, \vec{\dot{F}}) \frac{\partial F_i}{\partial t} (t,0)) =0$
Ma per ogni i da 1 a l
$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} (\vec{F}, \dot{\vec{F}})- \frac{\partial L}{\partial q_i} (\vec{F}, \dot{\vec{F}})=0$
Mettendo a sistema queste due equazioni e sfruttando il fatto che: $\vec{F}(t,0)=\vec{q}(t)$ , $\dot{\vec{F}}(t,0)=\dot{\vec{q}}(t)$ e $\frac{\partial \vec{F}}{\partial s}=\frac{\partial \vec{f}}{\partial s}$ si ottiene
$\frac{d}{d t} (\sum_{i=1}^{l} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial F_i}{\partial s} (t,0))= \frac{d}{d t} I(\vec{q}, \dot{\vec{q}})=0$
ovvero I è un'invariante del moto.

Voci correlate

Teorema di Noether Categoria:Matematica Categoria:Equazioni differenziali alle derivate parziali Teorema di Noether Categoria:Teoremi

Teorema di Noether

Dimostrazione

Dimostrazione alternativa

Voci correlate

See also: Teorema di Noether, 1905, Albert Einstein, Azione (fisica), Campo (matematica), Emmy Noether, Lagrangiana, Legge di conservazione, Matematico