Teorema di Ehrenfest

separatore

Meccanica quantistica
Postulati della meccanica quantistica Principio di indeterminazione di Heisenberg Equazione di Schrödinger Regola di quantizzazione di Dirac Teorema di Ehrenfest Quantizzazione del momento angolare Spin Coefficienti di Clebsh-Gordan Teoria perturbativa Principio di esclusione di Pauli QFT QED QCD
Fisica
Portale Fisica Glossario Fisico Calendario degli eventi Progetto Fisica

Portale Fisica
Glossario Fisico
Calendario degli eventi
Progetto Fisica

Per un'osservabile fisica A in meccanica quantistica, il teorema di Ehrenfest assume la forma:

$\frac{\operatorname d \langle A \rangle}{\operatorname d t} = \left \langle \frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{i}{\hbar} [\hat A, \hat H] \right \rangle$

Derivazione

Per una qualsiasi osservabile fisica, il valor medio in un generico stato rappresentato dalla funzione d'onda ψ(r) è dato dall'integrale:

$\langle A \rangle = \int \psi^{(*)}(\vec r) \hat A \psi(\vec r) \operatorname d^3 r$

Derivando questa rispetto al tempo, si ottiene:

$\frac {\operatorname d A}{\operatorname d t} = \langle \frac {\partial}{\partial t} \psi (t) | \hat A | \psi (t) \rangle + \langle \psi (t) | \frac {\partial}{\partial t} \hat A | \psi (t) \rangle + \langle \psi (t) | \hat A | \frac {\partial}{\partial t} \psi (t) \rangle$

Sostituendo alle derivate della funzione d'onda la corrispondente espressione ricavata dall'equazione di Schrödinger, e considerando che l'hamiltoniano è hermitiano, si ottiene l'espressione iniziale del teorema.

Esso può essere formulato qualitativamente dicendo che i valori di aspettazione delle osservabili seguono le regole della meccanica classica.

Le ipotesi del teorema sono del tutto generali.

Con gli operatori

Si può scrivere una relazione equivalente utilizzando solo gli operatori:

$\frac{\operatorname d \hat A }{\operatorname d t} = \frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{i}{\hbar} [\hat A, \hat H]$

Da questa risulta evidente che se $\hat A$ non dipende dal tempo, allora esso commuta con l'hamiltoniano, descrivendo una grandezza conservativa o costante del moto.

Un'immediata applicazione di questa è il calcolo della velocità di una particella. Nel caso la velocità sia la derivata rispetto al tempo della sua posizione nel piano cartesiano, è immediato vedrificare che:

$\hat v = \frac{i}{\hbar} [\hat H, r]$

Vedi anche

Energia media di un sistema quantistico

Teorema di Ehrenfest

Teorema di Ehrenfest

Derivazione

Con gli operatori

Vedi anche

See also: Teorema di Ehrenfest, Coefficienti di Clebsh-Gordan, Cromodinamica quantistica, Elettrodinamica quantistica, Energia media di un sistema quantistico, Equazione di Schrödinger, Fisica, Glossario fisico, Hamiltoniano