Teorema della probabilità totale
Il teorema della probabilità totale dice che la probabilità che si verifichi almeno uno di due eventi qualsiasi A e B, probabilità dell'unione di A e B) è pari alla somma delle singole probabilità P(A) e P(B) diminuita della probabilità della loro intersezione P(A ∩ B)
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Quando i due eventi sono disgiunti, cioè quando l'intersezione A ∩ B è l'insieme vuoto Ø, allora la probabilità dell'unione è pari alla somma delle singole probabilità (in quanto per assioma, la probabilità dell'insieme vuoto è nulla, P(Ø)& = 0 ). I due eventi A e B si diranno incompatibili.
Nel caso di tre eventi A, B e C il teorema afferma che
- P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Dimostrazione
______B______ / \_____A______ / /\ \ A ∪ B = A ∪ ( B - A ∩ B ) | / \ | B = (A∩B) ∪ ( B - A ∩ B ) | / \ | | B-A∩B | A∩B \ | | \_____|________/ \ / \_______________/
Si applica l'assioma della probabilità dell'unione di due insiemi disgiunti a due bipartizioni: :P(A ∪ B) = P(A) + P( B - A ∩ B )
- P(B) = P(A∩B) + P( B - A ∩ B )
Effettuando la sottrazione dei due primi membri delle equazioni si ottiene
- P(A ∪ B) - P(B) = P(A) + P( B - A ∩ B ) - P(A∩B) - P( B - A ∩ B )
- P(A ∪ B) - P(B) = P(A) - P(A∩B)
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) c.v.d.
Vedi anche
- Probabilità
- Principio di inclusione ed esclusione
- Probabilità condizionata
- Indipendenza stocastica
- Teorema della probabilità composta
- Teorema della probabilità assoluta
- Teorema di Bayes