Teorema dell'impossibilità di Arrow

Il Teorema dell'impossibilità di Arrow, o semplicemente teorema di Arrow, è un teorema formulato nel 1951 dal Premio Nobel per l'economia Kenneth Arrow. Lo scopo era trovare un sistema di votazione che evitasse il paradosso di Condorcet, consentendo dunque di preservare l'ordine lineare delle preferenze (se A vince su B, e B vince su C, allora A deve vincere su C). In italiano il nome del teorema non è ambiguo, mentre in inglese si preferisce la versione estesa per evitare confusione con un ipotetico teorema della freccia. La dimostrazione del teorema comporta, sorprendentemente, l'impossibilità della democrazia rappresentativa basata sui principi che solitamente sono considerati alla base della democrazia stessa: uguaglianza dei voti, univocità della scelta, certezza del risultato.

Indice
1 Formulazione logica
2 Conseguenze
3 Voci correlate
4 Bibliografia
5 Collegamenti esterni

Formulazione logica

Facciamo le seguenti ipotesi. Siano V l'insieme dei voti, A e B i candidati. Per semplicità, consideriamo il caso senza schede nulle o bianche e senza possibilità di pareggio (casi che sono sempre riconducibili a questo eliminando da V i voti nulli o in bianco, e ricorrendo eventualmente al ballottaggio). Detto VA l'insieme dei voti per A, risulta completamente determinato VB, in quanto non è altro che il complementare, VB = V - VA . Un'altra ipotesi è che se VA è sufficiente ad A per vincere, egli vince anche se prende più voti. Nelle votazioni a maggioranza, il minimo di tali insiemi di voti è la metà più uno di V. Ogni insieme che permetta la vittoria di un candidato (poniamo A) è detto insieme decisivo. Chiamiamo \mathcal {A} l'insieme degli insiemi decisivi a favore di A.

In termini matematici abbiamo postulato che, detto X un insieme decisivo per A su V:

  1. Se X è contenuto in Y, allora Y appartiene ad \mathcal {A}.
  2. Ogni voto sta in X o nel suo complementare.
  3. O X o il suo complementare è decisivo.

Queste proprietà sono molto vicine a quelle di un filtro su V, mancando solamente quella della chiusura rispetto all'intersezione. Mostreremo dunque che l'ipotesi della monotonicità, ossia che se A vince su B, e B vince su C, allora A vince su C, è equivalente alla chiusura rispetto all'intersezione degli insiemi decisivi di V.

Quanto sopra è l'enunciato del teorema.

Dimostrazione

Supponiamo che X \bigcap Y non sia decisivo. Allora, per la proprietà 3, lo è il suo complementare {}^\mathcal{C}\left (X \bigcap Y \right ) . Quindi, se X fa vincere A su B, e Y B su C, vediamo come ogni votante esprimerebbe le sue preferenze:

  1. per ogni elettore di X \bigcap Y A vince su B, e B su C (ABC)
  2. per ogni elettore di Y -X = Y \bigcap {}^\mathcal{C} X B su C, e B su A (BCA)
  3. per ogni elettore di X -Y = X \bigcap {}^\mathcal{C} Y C su B, e A su B (CAB)
  4. per ogni elettore di {}^\mathcal{C}(X \bigcap Y)={}^\mathcal{C}X \bigcup {}^\mathcal{C}Y C su B, e B su A (CBA)

Allora A vince su B perché X è decisivo, B vince su C perché è decisivo Y e C vince su A perché {}^\mathcal{C}\left (X \bigcap Y \right ) è decisivo. Quindi abbiamo il paradosso di Condorcet. Viceversa, dato un qualunque ordine delle prefenze, siano X, Y e Z rispettivamente i votanti che preferiscono A a B, B a C ed A a C. Tutti e tre sono decisivi. Vediamo ora che ogni votante di X \bigcap Y preferisce A a B, e B a C, e poichè l'ordine individuale è lineare, A a C. Dunque X \bigcap Y \subseteq Z. E dunque, poichè X \bigcap Y è decisivo, lo è anche Z \Box.

Per le proprietà viste prima, gli insiemi decisivi che rispettano la chiusura rispetto all'intersezione formano un ultrafiltro, e dato che l'insieme dei votanti è, per fortuna, finito, anche un filtro principale. Esiste dunque un singolo votante, che Arrow chiama il dittatore che da solo determina il risultato della votazione: egli è l'intersezione di tutti gli insiemi decisivi. Quindi, con le ipotesi che abbiamo fatto, delle due l'una: o accettiamo il paradosso di Condorcet, e quindi l'esito delle votazioni dipende dall'ordine in cui vengono effettuate, oppure in un sistema che esclude questa possibilità, ogni insieme decisivo comprende un dittatore, ossia un votante che da solo determina il risultato della votazione. Entrambe le possibilità sono in contrasto con l'idea istintiva di democrazia rappresentativa, che è quindi matematicamente impossibile. Contrariamente a quanto possa sembrare, sono possibili alternative che consentano ad una Costituzione di attuare una democrazia rappresentativa senza il paradosso di Condorcet, però queste forme devono necessariamente rinunciare ad una o più delle ipotesi viste in precedenza. Data la semplicità delle ipotesi di partenza, e la complessità della spiegazione del perché sono inaccettabili, è arduo ipotizzare che sia possibile far varare una legge elettorale conforme alle soluzioni prospettate.

Conseguenze

Nel 1970, applicando lo stesso principio di Arrow, il Premio Nobel per l'economia Amartya Sen ha mostrato l'impossibilità matematica del liberismo paretiano. Tramite una generalizzazione del metodo ad insiemi di vettori ad n dimensioni, l'economista Herbert Scarf ha mostrato nel 1962 l'inesistenza della mano invisibile per mercati con più di due beni i cui prezzi siano interdipendenti. Da molti il teorema di Arrow è considerato l'inizio dell'approccio alla sociologia e all'economia come scienze, con tanto di teoremi e dimostrazioni, e non più come materie umanistiche, come erano considerate prima, e come sono considerate tuttora in molti ambienti, sia scolastici che professionali.

Voci correlate

Bibliografia

Collegamenti esterni

See also: Teorema dell'impossibilità di Arrow, 1951, 1962, 1970, 2001, 2003, Amartya Sen, Democrazia, Filtro (matematica), Intersezione