Tensore metrico

Il tensore metrico è un tensore che caratterizza la geometria degli spazi che studiamo, intervenendo nella definizione di distanza. Definiamo infatti prodotto scalare tra due vettori la quantità

$\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = x_{i}g^{ij}y_{j}$

dove $g i j$ è la componente della i-esima riga e la j-esima colonna della matrice rappresentante il tensore metrico, $x i$ ed $y j$ rispettivamente la i-esima componente del vettore x e la j-esima componente del vettore y ed ho usato la notazione di Einstein secondo cui sugli indici ripetuti si somma; definiamo poi norma di un vettore (o modulo) la quantità

$|\mathbf{x}|=(\mathbf{x}\cdot \mathbf{x})^{1/2}$

e distanza tra due vettori la quantità

$d(\mathbf{x},\mathbf{y})=|\mathbf{x}-\mathbf{y}|=(\mathbf{x}-\mathbf{y})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})$

Vediamo quindi che la distanza dipende dal prodotto scalare, il quale coinvolge al suo interno il tensore $g i j$ , che chiamiamo metrico proprio per le sue implicazioni sul concetto di misura delle distanze.

Facciamo alcuni esempi: nello spazio euclideo ad n componenti, cioè quello che normalmente noi rappresentiamo, in cui le rette parallele non si incontrano (cioè vale il V postulato di Euclide), il tensore metrico altro non è che la matrice identità, cioè

$g^{ij} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & ...&0 \\ 0 & 1 & ...&0\\ ...&...&...&...\\ 0 & 0&...&1\end{matrix}\right)$

ed il prodotto scalare assume quindi la forma che conosciamo bene:

$\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}+ ... +x_{n}y_{n}$

Nello spazio di Minkowsy a quattro dimensioni usato per la relatività speciale, il tensore metrico ha la seguente forma:

$g^{\mu\nu} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & -1& 0& 0\\ 0 & 0 & -1& 0\\ 0 & 0 & 0& -1\end{matrix}\right)$

ed il prodotto scalare si può scrivere quindi come (indicando con l'indice 0 la componente temporale, e con 1,2,3 le tre componenti spaziali)

$\mathbf{x}\cdot \mathbf{y} = x_{0}y_{0} - x_{1}y_{1} - x_{2}y_{2} - x_{3}y_{3}$

Se indichiamo con $x μ$ la quantità

$x μ = g μν x ν$

(in soldoni, il nuovo vettore avrà semplicemente le componenti spaziali cambiate di segno) possiamo scrivere il prodotto scalare come

$\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= x^{\mu}y_{\mu}\equiv g^{\mu\nu}x_{\nu}y_{\mu}$

In relatività generale, il tensore metrico non ha una forma semplice come le due viste precedentemente, ma le proprietà geometriche restano e perciò i vettori utilizzano le stesse regole di trasformazione.

(Per approfondimenti cfr. tensore)

Tensore metrico

See also: Tensore metrico, Tensore, V postulato di Euclide