Tasso di interesse

Il tasso di interesse rappresenta la misura dell'interesse su un prestito. Viene espresso come una percentuale per un dato periodo di tempo e indica quanta parte della somma prestata debba essere corrisposta come interesse al termine del tempo considerato o, da un altro punto di vista, indica il costo del denaro. Il debitore, infatti, ricevendo una somma di denaro, si impegna a pagare una somma superiore a quella ricevuta. La differenza costituisce l'interesse, che viene solitamente calcolato in percentuale sulla somma prestata. Tale percentuale costituisce il tasso o saggio di interesse.

Se la durata del prestito è superiore al periodo di tempo per cui l'interesse viene conteggiato, si parla di interesse composto, perché vengono conteggiati nel calcolo dell'interesse finale anche tutti gli interessi parziali già maturati per ogni periodo.

Nei mutui i tassi possono essere anche variabili o misti: quando sono variabili, vengono calcolati ad ogni rata secondo una formula prestabilita in base a degli indicatori economici prefissati, e di conseguenza vengono ricalcolati anche gli interessi e quindi l'ammontare della rata stessa. Il tasso misto è fisso per un certo intervallo di tempo, e poi diventa variabile. La durata del tasso fisso e la formula di quello variabile sono comunque stabilite in anticipo, al momento della stipula del contratto.

Il calcolo del valore finale della somma da restituire in corrispondenza di un determinato tasso d'interesse, e a determinate scadenze (usualmente misurate in anni), si definisce "montante".

Indice

1 Interesse semplice

2 Interesse composto

2.1 Montante ad interesse composto discontinuo annuo
2.2 Montante ad interesse composto discontinuo convertibile
2.3 Montante ad interesse composto continuo o matematico

3 Tassi equivalenti

3.1 Relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse semplice
3.2 Relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse composto discountinuo
3.3 Relazione tra tassi equivalenti in regimi differenti

4 Voci correlate

Interesse semplice

L'interesse viene detto semplice quando è proporzionale al capitale e al tempo. Ovvero gli interessi maturati da un dato capitale nel periodo di tempo considerato, non vengono aggiunti al capitale che li ha prodotti e quindi non maturano a loro volta interessi.

Indicando con i l'interesse (tasso unitario annuo), con C il capitale iniziale, con t il periodo di tempo in anni e con M il montante, si avrà:

M = C + C i t = C (1 + i t)

Interesse composto

L'interesse viene detto composto quando, invece di essere pagato o riscosso, è aggiunto al capitale iniziale che lo ha prodotto. Questo comporta che alla maturazione degli interessi il montante verrà riutilizzato come capitale iniziale per il periodo successivo, ovvero anche l’interesse produce interesse.

L'interesse composto si divide in:

discontinuo annuo;
discontinuo convertibile;
continuo o matematico.

Montante ad interesse composto discontinuo annuo

In questo caso gli interessi si sommano al capitale iniziale che li ha prodotti al termine di ogni anno.

Per determinare il montante di un capitale C, dopo un numero n di anni e impiegato ad interesse composto (annuo) i, si procede come segue. Si indichi con $M n$ il montante alla fine dell'anno n.

Il montante $M 1$ si ottiene con la formula per l'interesse semplice posto $t = 1$ :

M 1 = C (1 + i)

Il montante $M 2$ si applica la stessa formula posto $t = 1$ , ma il capitale è ora $M 1$ , quindi:

M 2 = M 1 (1 + i) = C (1 + i)(1 + i) = C (1 + i) 2

Generalizzando, dopo n anni, il montante M risulta:

M = C (1 + i) n

Montante ad interesse composto discontinuo convertibile

In questo caso gli interessi maturano più volte durante l'anno (t) ma sempre in periodi definiti. In genere viene definito un tasso annuo nominale i al quale corrisponde un tasso convertibile i_c dato da:

$i_c = \frac{i}{t}$ .

Per il calcolo del montante si applica la stessa formula per impiegata per l'interesse composto continuo annuo:

$M = C (1+i_c)^{nt} = C (1+\frac{i}{t})^{nt}$ .

dove i_c è l'interesse convertibile e nt indica il numero di volte in cui l’interesse convertibile matura nell’intero periodo.

Montante ad interesse composto continuo o matematico

In questo caso gli interessi si sommano al capitale che li ha prodotti ad ogni istante. Anche se è valido in teoria, nella pratica estimativa non ha alcuna applicazione.

È interessante osservare che ponendo il capitale iniziale a 1 e immaginando di dividere l'anno in infiniti periodi si ottiene il noto limite notevole:

$M = \lim_{t\to\infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^t = e$ .

Per approfondire questo aspetto dell'interesse continuo è possibile consultare la voce costante matematica e e il sito del [Progetto Polymath].

Tassi equivalenti

Due tassi d'interesse, relativi a periodi diversi di capitalizzazione, si dicono equivalenti se, a parità di capitale iniziale e di periodo di applicazione, producono lo stesso montante, ovvero gli stessi interessi.

Relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse semplice

Per determinare la relazione tra due tassi unitari a interesse semplice i_s1 e i_s2 è sufficiente uguagliare i montanti che sono prodotti da periodi di tempo t₁ e t₂ differenti:

M = C (1 + i s 1 t 1) = C (1 + i s 2 t 2)

Noto i dei due tassi è possibile ottenere l'altro ad esso equivalente tramite le seguenti relazioni:

$i_{s1} = \frac{(1+i_{s2}t) - 1}{t}$

$i_{s2} = \frac{(1+i_{s1}t) - 1}{t}$ .

Relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse composto discountinuo

Per determinare la relazione tra due tassi unitari a interesse composto i_c1 e i_c2 è sufficiente uguagliare i montanti che sono prodotti da periodi di tempo t₁ e t₂ differenti:

$M = C(1+i_{c1})^t_1 = C(1+i_{c2})^t_2$ .

Da questa si ottengono le relazioni:

$i_{c1} = (1-i_{c2})^\frac{t_2}{t_1}-1$

$i_{c2} = (1-i_{c1})^\frac{t_1}{t_2}-1$ .

Relazione tra tassi equivalenti in regimi differenti

Per determinare la relazione tra due tassi unitari i_s (regime a interesse semplice) e i_c (regime a interesse composto) è sufficiente uguagliare i montanti che sono prodotti dallo stesso preriodo di tempo t:

M = C (1 + i s t) = C (1 + i c) t

Da questa si ottengono le relazioni:

$i_s = \frac{(1+i_c)^t - 1}{t}$

$i_c = \sqrt[t]{(1+i_st)} - 1$ .

Si può notare come l'equivalenza dipenda dalla durata della capitalizzazione.