Successione (matematica)

In matematica una successione è una sequenza infinita di oggetti; questi sono chiamati termini della successione; alcuni termini di una successione possono coincidere (anche tutti).

Le successioni più semplici sono costituite da numeri reali o complessi: si parla allora di successioni numeriche. Si possono anche considerare successioni di oggetti più complessi come funzioni (polinomi xⁿ per i successivi interi naturali n), matrici (le matrici identità dei successivi aspetti n %times n), figure geometriche (poligoni regolari, piramidi regolari), di strutture (gruppi ciclici dei successivi ordini, spazi vettoriali Rⁿ delle successive dimensioni).

È ovviamente impossibile indicare tutti i termini di una sucessione, come invece in linea di principio può farsi per tutte le sequenze finite. Una successione viene quindi presentata da una scrittura costituita dai suoi primi termini, seguiti da puntini sospensivi

a₀, a₁, a₂, ...

oppure da una scrittura del tipo

a₀, a₁, ..., a_n, ...

Si può ad es. considerare la successione degli interi naturali indicandola

0, 1, 2, 3, 4, ...

oppure con

0, 1, 2, ..., n, ...

La prima notazione può essere sufficiente, in quanto tutti i lettori sono in grado di individuarne il significato. La seconda, oltre ad individuare la successione, serve a segnalare che si intende usare la lettera n per denotare il termine generico della successione, cioè il generico intero naturale.

È essenziale stabilire il grado di conoscenze che si posseggono su una successione. Se sappiamo che tutti i termini di una successione appartengono ad un insieme S si parla di successione in S. Una distinzione molto importante riguarda il tipo di conoscenza riguardante il generico termine n-esimo. Nel caso più vantaggioso di a_n si conosce una semplice espressione, come per la

$\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, ... , \frac{1}{n(n+1)}, ... ~.$

In altri casi si conosce un modo per calcolare il termine n-esimo, ma non una sua forma chiusa, cioè una espressione abbastanza semplice: questo è il caso di molte successioni di natura combinatoria come la successione dei numeri di Fibonacci, quella dei numeri di Bernoulli, quella dei numeri primi, quella delle cifre decimali o binarie esprimenti π; in questi casi è importante la complessità dei calcoli che possono portare ad una valutazione del termine n-esimo. Vi sono poi sequenze che non sappiamo neppure se sono finite o infinite: si conoscono i primi termini, si conosce qualche procedimento per cercare successivi termini (in genere molto oneroso) ma non si sa se questi esistono, cioè se si riescono a trovare altri termini.

Formalmente una successione in S viene definita come una funzione da N (l'insieme dei numeri naturali) nell'insieme S.

In certe circostanze può essere più comodo considerare successioni con i termini indicizzati con i numeri positivi, cioè funzioni da N₊ in S. Si tratta di oggetti logicamente equivalenti, diversi solo al livello delle notazioni (che peraltro in certi casi vanno ben precisate).

Possono avere grande interesse anche le funzioni da Z (l'insieme dei numeri interi relativi) in un certo S. Questi oggetti vengono indicati con notazioni del tipo

... , a_-m, ..., a_-1,a₀,a₁, ... a_n, ...

e vengono chiamati successioni bilatere. Si possono poi considerare successioni a 2 indici; queste si possono considerare matrici infinite; possono essere utili anche successioni a 3 o più indici e si può anche considerare l'insieme delle successioni con un numero intero qualsiasi di indici.

La nozione di successione numerica è strettamente collegata a quella di serie (matematica). Infatti una successione numerica si può porre in corrispondenza biunivoca con la successione delle sue somme parziali

$a_0, a_0+a_1, a_0+a_1+a_2,... , \sum_{i=0}^n a_n, ...$

Se questa successione converge si ottiene una serie convergente che individua un valore numerico, il limite delle somme parziali.

Successioni e serie sono strumenti fondamentali per la matematica, a cominciare dalla costruzione dell'insieme dei numeri reali che sostanzialmente si serve di successioni convergenti di numeri razionali, per riguardare vari argomenti del calcolo infinitesimale, delle equazioni differenziali e della topologia.

Esempio: 1 + 1/2 + 1/4 + ... è una serie convergente, intendendo con ciò che la successione 1, 1 + 1/2, 1 + 1/2 + 1/4, ... non può mai superare il valore 2. Per quanto si possa potrarre la serie il valore 2 non sarà mai superato, ma se si sommano infiniti termini il valore arriverà, al limite, a 2.

Le successioni, o serie, si indicano in matematica con una particolare convenzione tipografica, cioè per sottointendere una serie di somme si usa la sigma maiuscola. Per scrivere la successione precedente, di solito, si adotta il seguente stile:

$\sum^5_{n=1} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$

$\sum^\infty_{n=1} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 1$

$\sum^\infty_{n=0} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 2$

Serie notevoli

$\sum^n_{k=1} k = \frac{n (n+1)}{2}$
$\sum^n_{k=0} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$\sum^\infty_{k=1} \left(\frac{1}{k}\right)^2= \frac{\pi^2}{6}$
$\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{1}{2k+1}= \frac{\pi}{4}$
$\sum^\infty_{k=0} \left(\frac{z^k}{k!}\right)= e^z$
$\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} = sin z$
$\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!} = cos z$
$\sum^\infty_{k=0} \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} = sinh z$
$\sum^\infty_{k=0} \frac{z^{2k}}{(2k)!} = cosh z$
$\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{x^{k+1}}{k+1} = log (1+x)$ ovviamente con $x \in \left(-1 ; 1 \right]$
$\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = arctg (x)$ ovviamente con $x \in \left[-1 ; 1 \right]$

Successione (matematica)

Serie notevoli

See also: Successione (matematica), Equazione differenziale, Funzione, Insieme, Matematica, Numeri di Bernoulli, Numeri di Fibonacci, Numeri primi, Numero intero, Numero naturale