Spazio topologico
Secondo la definizione più utilizzata, uno spazio topologico è un insieme X munito di una topologia, ovverosia una collezione T di sottoinsiemi, detti aperti, che godono delle seguenti proprietà:
- l'unione di una collezione arbitraria di aperti è ancora un aperto
- l'intersezione di un numero finito di aperti è un'aperto
- l'insieme X e l'insieme vuoto sono aperti
Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia (X,T). È da notare che se si considera uno stesso insieme X con due diverse topologie T e T', si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficente per individuare lo spazio topologico.
Hausdorff definì un suo concetto di spazio topologico, basato sui quattro Assiomi di Hausdorff:
- ad ogni punto x corrisponde almeno un intorno U(x), contenente x;
- se U(x) e V(x) sono intorni dello stesso punto x, allora deve esistere un insieme W(x) che sia sottoinsieme dell'intersezione tra U(x) e V(x);
- se y è un punto in U(x), allora esiste un intorno U(y) di y tale che U(y) è un sottoinsieme di U(x);
- per due punti distinti x e y, esistono due intorni disgiunti U(x) e U(y).
Uno spazio topologico con queste proprietà prende il nome di spazio di Hausdorff.
Vedi anche:
- Spazio: definizioni in varie discipline
- Spazio topologico vettoriale
- Matematica: Teoria degli insiemi
Bibliografia:
- Munkres J. R., Topology: A First Course, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975.
- Hausdorff, Set Theory, 2nd ed., New York: Chelsea, 1962.
- Berge C., Topological Spaces Including a Treatment of Multi-Valued Functions, Vector Spaces and Convexity, New York: Dover, 1997.
Categoria:Topologia