Spazio metrico
Uno spazio metrico è una struttura logica costituita da due elementi: un insieme ed una funzione che associa a due punti un numero reale, la funzione viene chiamata metrica mentre il numero che associa ai due punti è la distanza. Affinché la definizione abbia senso è necessario porre alcune condizioni all'insieme ed alla funzione.
Per quanto riguarda l'insieme:
- deve essere non vuoto;
- tra i punti dell'insieme deve esistere una relazione di equivalenza che permette di distinguere punti diversi.
Per quanto riguarda la funzione oltre ad avere come dominio l'insieme e come codominio i numeri reali deve soddisfare le seguenti condzioni:
- la distanza deve essere positiva o zero e zero solo nel caso in cui i due punti coincidano;
- deve essere simmetrica: la distanza di un punto A da un punto B è la stessa della distanza tra il punto B ed il punto A;
- la distanza è minima, nel senso che la distanza tra due punti A e B è minore o al più uguale della distanza ottenuta partendo da A ed arrivando a B passando per un punto intermedio C arbitrario.
Lo spazio metrico è una struttura logica astratta, esempi concreti di tale struttura sono:
- il piano euclideo con la normale nozione di distanza;
- un insieme non vuoto con la metrica definita come: la distanza tra due punti è 1 se i punti sono diversi, 0 altrimenti;
- l'insieme delle funzioni continue nell'intervallo [0,1] è metrizzabile con la seguente metrica: date due funzioni f1, f2 della variabile x il numero d = max|f1(x) - f2(x)| è la distanza tra esse.