Spazio campionario

In Teoria della probabilità lo spazio campionario è un insieme i cui punti vengono utilizzati per rappresentare gli stati che un particolare sistema può assumere. Se, ad esempio, siamo interessati allo studio della caduta di una pallina sul pavimento, dovremo immaginare un rettangolo: i suoi punti rappresenteranno i possibili punti di impatto della pallina col pavimento. Se lo studio di tale fenomeno viene impostato dal punto di vista probabilistico, tale rettangolo prenderà il nome di spazio campionario.

Indice
1 Definizioni formali

1.1 Evento elementare
1.2 Spazio campionario
1.3 Evento
1.4 Famiglia (di eventi)
1.5 sigma-algebra
1.6 Spazio degli eventi
1.7 Insieme delle parti
1.8 Partizione

2 Osservazioni
3 Tipi di spazio campionario

3.1 Finito
3.2 Numerabile
3.3 Continuo
3.4 Vettoriale finito
3.5 Vettoriale numerabile
3.6 Funzionale

4 Esempi

4.1 Un foglio in pezzi
4.2 Lancio di un dado equilibrato
4.3 Sigma-algebra di Borel su (0,1]
4.4 Costruzione di una sigma-algebra

5 Voci correlate
6 Bibliografia

Definizioni formali

Evento elementare

Dato un esperimento i cui esiti sono misurabili viene detto evento elementare \omega \,\! uno dei possibili esiti dell’esperimento.

Spazio campionario

L’insieme \Omega \,\! degli eventi elementari, visti come punti, viene detto spazio campionario.

Evento

Si dice evento un qualsiasi sottoinsieme A \subseteq \Omega \,\! dello spazio campionario \Omega \,\!. Dunque un evento non è altro che un raggruppamento di eventi elementari.

L'evento corrispondente all'intero spazio campionario (costituito da tutti gli eventi elementari) è detto evento certo.

L'evento corrispondente all'insieme vuoto (costituito da nessun evento elementare) è detto evento impossibile.

Dato uno spazio campionario associato a un esperimento, può darsi che l'analisi da condurre non coinvolga tutti i possibili eventi ma solo una parte di essi. Gli eventi che hanno un ruolo in una specifica analisi vengono detti eventi di interesse.

Famiglia (di eventi)

Si dice famiglia \mathcal {A} = \left\{ {A_1 ,A_2 , \ldots } \right\} di eventi definita su \Omega \,\! una qualsiasi collezione di sottoinsiemi A_i \subseteq \Omega \,\!

sigma-algebra

Sia \Omega \,\! uno spazio arbitrario purché non vuoto. Una famiglia \mathcal {A} di eventi di \Omega \,\! è detta σ-algebra (sigma-algebra) se contiene \Omega \,\! ed è chiusa rispetto alle operazioni insiemistiche di unione numerabile, intersezione numerabile e complementazione ovvero se soddisfa le seguenti tre proprietà:

  1. \Omega \in \mathcal {A}
  2. A \in \mathcal {A} \Rightarrow A^c \in \mathcal {A}
  3. A_i \in \mathcal {A} \; \forall i \in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcup _{i = 1}^{\infty} {A_i } \in \mathcal {A}

La proprietà 1. è del tutto equivalente a:

1'. \emptyset \in \mathcal {A}

La proprietà 3. è del tutto equivalente a:

3'. A_i \in \mathcal {A} \; \forall i \in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcap _{i = 1}^{\infty} {A_i } \in \mathcal {A}

Dato uno spazio arbitrario \Omega \,\! e una famiglia \mathcal {A} di suoi sottoinsiemi è possibile, sempre e in vari modi, estendere la famiglia sino a renderla una sigma-algebra. La più piccola sigma-algebra contenente la famiglia \mathcal {A} viene indicata con \sigma(\mathcal {A}) e detta sigma-algebra generata dalla famiglia.

Le sigma-algebre sono un concetto ampiamente trattato in Teoria della misura.

Spazio degli eventi

Si dice spazio degli eventi una qualsiasi σ-algebra definita sullo spazio campionario \Omega \,\!.

Insieme delle parti

Si dice insieme delle parti di \Omega \,\! la famiglia di tutti i possibili sottoinsiemi di \Omega \,\! inclusi l’insieme vuoto \empty \,\! e \Omega \,\! stesso.

Partizione

Si dice partizione di \Omega \,\! una qualsiasi famiglia \mathcal A \,\! di sottoinsiemi di \Omega \,\! che soddisfa le seguenti proprietà:

\emptyset \notin \mathcal A
A_i \cap A_j = \emptyset \quad \forall A_i \neq A_j \in \mathcal A
\bigcup_i A_i = \Omega \,\!

Le partizioni possono essere finite:

\mathcal A = \{A_1, \ldots , A_n \} \,\!

oppure infinite:

\mathcal A = \{A_1,A_2, \ldots \} \,\!

Osservazioni

Nell’insieme delle parti di \Omega \,\! gli elementi sono i sottoinsiemi di \Omega \,\!. Quindi una famiglia \mathcal {A} di sottoinsiemi di \Omega \,\! è un sottoinsieme dell’insieme \mathcal {P} \left ( \Omega \right ) delle parti di \Omega \,\!.

In particolare una σ-algebra definita su \Omega \,\! non è un sottoinsieme di \Omega \,\! ma di \mathcal {P} \left ( \Omega \right ).

Un evento A \,\! è un sottoinsieme di \Omega \,\! e non un suo elemento. Quindi un evento, in quanto insieme, non appartiene allo spazio campionario (e la scrittura A \in \Omega \,\! è priva di significato) ma è incluso nello spazio campionario. Di converso un evento elementare \omega \,\!, in quanto punto, appartiene allo spazio campionario e l'evento \left \{ \omega \right \}, insieme costituito da un singolo punto (e perciò detto singoletto), è incluso nello spazio campionario.

Se la cardinalità di \Omega \,\! è finita allora la σ-algebra può coincidere con l’insieme delle parti ma non è detto che sia necessario prendere una famiglia di eventi così grande.

Ovviamente nulla vieta di prendere come spazio degli eventi proprio l’insieme delle parti. Questo perché nel caso di cardinalità finita è sempre possibile prendere come σ-algebra l’intero insieme delle parti senza rischiare di incappare in eventi A \,\! ai quali non è possibile attribuire una probabilità P[A] \,\!.

Se invece la cardinalità di \Omega \,\! è infinita non è detto che sia possibile definire P[A] \quad \forall A \in \mathcal {P} \left ( \Omega \right ). In tale caso può darsi che scegliere l’insieme delle parti come sigma-algebra non sia una scelta felice: in virtù della terza proprietà delle sigma-algebre, quando passiamo alla probabilità vengono coinvolte delle serie che non è detto convergano.

In generale si cerca sempre di scegliere una sigma-algebra che sia piccola: più piccola è meno problemi crea.

Il fatto che sia piccola e non coincidente con l’intero insieme delle parti non vuol dire che alcuni eventi elementari restino esclusi infatti, per definizione di sigma-algebra, possiamo dire che \forall \omega \in \Omega \quad \exists A \in \mathcal {A} : \omega \in A. In altri termini le sigma-algebre definite su \Omega \,\! sono una copertura di \Omega \,\!.

Tipi di spazio campionario

La scelta dello spazio campionario per un determinato fenomeno aleatorio deve in qualche modo equilibrare la necessità di essere fedele alla realtà fisica esaminata con la convenienza matematica (vedi osservazioni).

In pratica, la maggior parte degli spazi campionari rientra nelle seguenti tipologie:

Finito

I più semplici esperimenti aleatori consistono nel lancio di una moneta o di un dado, o nell'estrazione di una pallina da un'urna. In ogni caso lo spazio campionario sarà un insieme costituito da un numero finito di eventi elementari. In genere, ma non necessariamente, essi saranno rappresentati dai primi n numeri interi: {0,1,...,n − 1} piuttosto che {1,...,n}.

Numerabile

Molti importanti modelli probabilistici, come ad esempio quello poissoniano utilizzato per contare il numero di accadimenti che si verificano in un intervallo di tempo fissato, si basano su uno spazio campionario numerabile e coincidente, quindi con tutto \mathbb N \,\! o con \mathbb Z.

Continuo

Solitamente il modello continuo per eccellenza è la retta reale, come nel caso degli errori di misura nelle osservazioni scientifiche il cui studio sistematico è stato avviato da Karl Friedrich Gauss nel 1809. Altri modelli, utili per rappresentare i tempi di vita di componenti elettronici, hanno come modello la semiretta reale positiva.

Vettoriale finito

Spesso un esperimento è costituito da una sequenza finita di altri esperimenti come, ad esempio, il lancio di un dado ripetuto n volte. In tale caso, se \Omega_0 \equiv \{\omega \in \mathbb N : 1 \leq \omega \leq 6 \} è lo spazio campionario del singolo lancio, lo spazio campionario complessivo sarà dato dal prodotto cartesiano dei singoli spazi: \Omega = \Omega_0 \times \cdots \times \Omega_0 \equiv \{(\omega_1, \ldots , \omega_n) : \omega_i \in \Omega_0 \quad \forall i=1, \ldots ,n \} \,\!.

Lo spazio campionario del singolo esperimento potrà essere sia finito che numerabile che continuo.

Vettoriale numerabile

Come nel caso vettoriale finito con l'unica differenza che la sequenza dei singoli esperimenti non è finita ma numerabile dunque: \Omega = \Omega_0 \times \Omega_0 \times \cdots \equiv \{(\omega_1, \omega_2, \ldots) : \omega_i \in \Omega_0 \quad \forall i \in \mathbb N\}\,\!.

Tale modello compare, ad esempio, nelle analisi di qualità dei pezzi uscenti da una linea di produzione con Ω0 = {0,1} o nella passeggiata aleatoria (random walk) con Ω0 = { − 1,1}.

Funzionale

In alcuni esperimenti aleatori della fisica, gli esiti dell'esperimento sono i percorsi o le traiettorie di una particella in un certo intervallo di tempo. Quindi ogni esito, in questo caso, è una funzione. Tale modello emerge insistentemente nei processi stocastici.

Esempi

Un foglio in pezzi

Prendiamo un qualsiasi foglio: nella sua interezza rappresenterà il nostro spazio campionario. Le singole particelle del foglio corrisponderanno ai punti dello spazio campionario ovvero agli eventi elementari. Se ora strappiamo in pezzi il foglio, ognuno dei pezzi rappresenterà un evento che, in quanto aggregato di particelle, sarà un sottoinsieme del foglio originale e, in quanto pezzo, sarà un elemento dell'insieme dei pezzi del foglio (l'insieme delle parti). Osserviamo che un foglio strappato in pezzi costituisce una partizione del foglio originale. I pezzi in cui abbiamo strappato il foglio non esauriscono tutto l'insieme delle parti ma ne costituiscono solo una sua famiglia. Tale famiglia può essere estesa ad una sigma-algebra aggiungendo ad essa anche tutte le possibili composizioni ottenibili con le operazioni insiemistiche di unione numerabile, intersezione numerabile e complementazione. Ad esempio dovremo aggiungere alla famiglia l'unione di tutti i pezzi (l'intero foglio). Accanto ad ogni pezzo della famiglia dovremo aggiungere il suo complementare (ovvero l'unione di tutti gli altri pezzi). E via dicendo. Notiamo che questo procedimento ci conduce ad una sigma-algebra ma non all'insieme delle parti. Per arrivare all'insieme delle parti dovremmo ripetere il procedimento anche per tutti gli altri modi in cui possiamo strappare il foglio originale.

Lancio di un dado equilibrato

Consideriamo un esperimento che consiste nel lanciare un comune dado (un cubo le cui facce sono numerate da 1 a 6) su una superficie piana dotata di attrito e delimitata da pareti atte a contenere il movimento del dado (ovvero una scatola!) e supponiamo che il dado sia bilanciato (ovvero che la sua distribuzione di massa sia uniforme e non privilegi una faccia rispetto alle altre).

Gli esiti di tale esperimento sono misurabili infatti, spesa la sua energia, il dado si fermerà inesorabilmente poggiando sulla superficie una delle sue facce e mostrando, quindi, all'esperimentatore la faccia opposta a quella di appoggio.

Il numero impresso sulla faccia esposta potrà essere utilizzato per rappresentare l'esito dell'esperimento che, complessivamente, avrà sei possibili esiti distinti (tanti quanti le facce del dado). Codificheremo tali esiti con i primi sei numeri interi.

Allora gli eventi elementari saranno i primi sei numeri interi e lo spazio campionario associato a questo esperimento sarà \Omega \equiv \left \{ \omega \in \mathbb {N} : 1 \leq \omega \leq 6 \right \} che ha cardinalità \# \Omega = 6 \,\! evidentemente finita.

Poiché ogni evento è un sottoinsieme dello spazio campionario ovvero un elemento dell'insieme delle parti di \Omega \,\! ci sono 2^6 \,\! possibili eventi tra i quali, ovviamente, l'insieme vuoto, l'intero \Omega \,\!, i sei singoletti, le {6 \choose 2} possibili coppie, i pari \left \{ 2,4,6 \right \} e via dicendo.

La scelta della σ-algebra da usare dipende dagli obiettivi. Se, ad esempio, siamo interessati a calcolare la probabilità che esca un numero pari, gli unici eventi di interesse saranno A="è uscito un pari" e il suo complementare. La più piccola sigma-algebra contenente l'evento A sarà: \left \{ \empty , A, A^c, \Omega \right \}. Non è l'unica ma, tra tutte le sigma algebre contenenti l'evento A, è la più piccola dunque quella che genera meno lavoro e meno problemi.

Sigma-algebra di Borel su (0,1]

Questo esempio non è intuitivo ma è qui riportato perché celebre, perché riveste un ruolo fondamentale in gran parte della teoria della probabilità e perché nonostante la sua semplicità (è sufficiente investigare su un numero infinito di lanci di una moneta per incappare in una sigma-algebra di Borel) ha messo in crisi la teoria classica della probabilità richiedendone la rivisitazione assiomatica di Kolmogorov.

Sia \Omega = (0,1] \,\! l'intervallo reale unitario aperto a sinistra e chiuso a destra. Sia, inoltre \mathcal I la famiglia degli intervalli di \Omega\,\!, della forma (a,b] con a < b.

Consideriamo, inoltre, tutte le unioni finite e disgiunte di tali intervalli: A=\bigcup_{i=1}^n A_i=\bigcup_{i=1}^n (a_i,b_i].

Aggiungiamo infine anche l'insieme vuoto.

La famiglia \mathcal B_0 così ottenuta è nota come algebra di Borel. Nonostante tale famiglia sia assai numerosa, ancora non abbiamo a che fare con una sigma-algebra. Ad esempio sono esclusi dalla famiglia i singoletti {x} che, in virtù della proprietà 3', dovrebbero invece essere presenti in quanto ognuno è intersezione numerabile di insiemi della famiglia:

\{x\}=\bigcap _{n = 1}^{\infty} \left (x-\frac{1}{n},x \right]

A questo punto è facile immagine Emile Borel, colto da sensi di colpa per aver abbandonato il piano astratto e aver tentato di costruire la sua sigma-algebra elemento per elemento, si rifugia in un buio sgabuzzino urlando da dietro la porta: "la sigma-algebra \mathcal B = \sigma(\mathcal I) esiste e non è banale!" (ovvero non coincide con l'insieme delle parti di Ω).

Che \mathcal B_0 non coincida con \mathcal B lo ha già appurato Borel e noi abbiamo appena visto che i singoletti appartengono a \mathcal B ma non a \mathcal B_0. Per scoprire un sottoinsieme di \Omega\,\! non contenuto in \mathcal B e quindi dare conforto all'ipotesi \mathcal B \subset \mathcal P(\Omega) del disperato Borel bisognerà attendere Giuseppe Vitali.

Costruzione di una sigma-algebra

Ma allora come si costruisce effettivamente una sigma-algebra? La realtà è che spesso la sigma-algebra non si costruisce affatto! Senza andare tanto lontano già l'esempio del lancio di un dado è sufficiente: elencare tutti gli elementi della sigma-algebra è cosa folle e, per fortuna, superflua.

Sostanzialmente la sigma-algebra si bisbiglia, si accenna, la si fa solo intuire ma non la si costruisce praticamente mai.

C'è un teorema che garantisce che, fissata una partizione, esiste una sola sigma-algebra che la contiene.

Questo ci garantisce che, fissata una partizione, non corriamo il rischio di ambiguità. Dunque non resta che scegliere oculatamente la partizione in funzione degli obiettivi e, pur non dichiarata esplicitamente, la sigma-algebra ci sarà e unica.

La domanda iniziale ora diventa: ma come si costruisce effettivamente una partizione?

A questo possiamo rispondere.

Riprendiamo ancora l'esempio del lancio di un dado. Abbiamo già visto che se siamo interessati a valutare la probabilità che esca pari dovremo considerare l'evento A={è uscito pari}. Ma A preso singolarmente non basta. Per completare la nostra partizione basterà aggiungere ad A il suo complementare. Ora \left \{A, A^C \right \} è una partizione.

Qualcuno potrebbe ribattere: ma anche {{1,2},{3,4},{5,6} è una partizione. E anche {A,{1},{3},{5}} lo è.

Certo. Ma la prima non ci serve a nulla perché non distingue tra pari e dispari mentre la seconda distingue troppo: che ci importa sapere se il dispari uscito è 1 o 3 o 5 ?

\left \{A, A^C \right \} è la migliore partizione rispetto al problema in esame.

Tra l'altro questo, come abbiamo già visto, è uno dei rarissimi casi in cui costruire la sigma-algebra non è reato (tentato suicidio).

Se, per qualche motivo, dobbiamo esaminare tutte e sei le possibili configurazioni allora la partizione che dovremo costruire sarà la più fine possibile: \left \{ \{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\}\right \}. Il grosso vantaggio nel lavorare solo con la giusta partizione diventa chiaro in fase di assegnazione di una misura di probabilità.

Voci correlate

Bibliografia


Categoria:Teoria della probabilità Categoria:Statistica

See also: Spazio campionario, Cardinalità, Karl Friedrich Gauss, Misura di probabilità, Probabilità, Processo stocastico, Serie, Teoria della misura, Giuseppe Vitali