Simbolo di Levi-Civita

In matematica, e in particolare nel calcolo tensoriale, si definisce il simbolo di Levi-Civita, detto anche simbolo delle permutazioni di 1, 2 e 3, nel modo seguente:

\epsilon_{ijk} = \left\{ \begin{matrix} +1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ or } (3,1,2)\\ -1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3)\\ 0 & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i \end{matrix} \right.

Il suo nome ricorda il matematico italiano Tullio Levi-Civita. Esso si incontra in molte considerazioni sullo spazio tridimensionale in trattazioni della matematica e della fisica. Ad es. in algebra lineare, si può definire il prodotto vettoriale di due vettori tridimensionali come:

\mathbf{a \times b} := \begin{vmatrix} \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} = \sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k

o più concisamente:

\mathbf{a \times b} := \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k

Questa scrittura può ulteriormente semplificarsi usando la notazione di Einstein.

Il tensore le cui componenti sono date dal simbolo di Levi-Civita, tensore di rango covariante 3, è chiamato anche tensore di permutazione.

Il simbolo di Levi-Civita si può generalizzare a più di 3 indici e dimensioni:

Si è verificato un errore nel parsing (Conversione in PNG fallita): \epsilon_{ijkl\dots} :=

\left\{ \begin{matrix} +1 & \mbox{se }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ è una permutazione pari di } (1,2,3,4,\dots) \\ -1 & \mbox{se }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ è una permutazione dispari di } (1,2,3,4,\dots) \\ 0 & \mbox{se due indici coincidono} \end{matrix} \right.


Per le definizioni di 'permutazione pari' e 'permutazione dispari' vedi permutazione pari o gruppo simmetrico.

Un simbolo che spesso si incontra insieme a quello di levi-Civita è la delta di Kronecker.

See also: Simbolo di Levi-Civita, Calcolo tensoriale, Delta di Kronecker, Fisica, Matematica, Prodotto vettoriale, Tensore, Tullio Levi-Civita