Serie

Indice

4.1 Serie a termini positivi
4.2 Primo criterio di confronto
4.3 Secondo criterio di confronto
4.4 Criterio del rapporto
4.5 Criterio della radice
4.6 Serie a termini di segno alterno
4.7 Serie a termini di segno qualunque

5 Serie di funzioni

5.1 Serie di potenze

Definizione

Una serie è ricavata a partire da una successione; data una successione $a n$ , la serie corrispondente (che chiameremo $z n$ ) è definita come:

$z_n = \sum_{k=0}^n a_k \,\!$

cioè l'n-esimo elemento della serie è la somma dei primi N elementi della successione.

Carattere delle serie

Il carattere di una serie rappresenta il valore della somma dei suoi infiniti termini. Per studiare il carattere di una serie si può calcolare il limite per n che tende ad infinito della sua somma parziale.

Si distinguono tre casi:

Se il limite esiste ed è finito la serie si dice convergente.
Se il limite è infinito la serie si dice divergente.
Se il limite non esiste la serie si dice indeterminata o oscillante.

Condizione necessaria ma non sufficente affinchè una serie converga è che $\lim_{n=+\infty} a_n$ = 0

Serie fondamentali

È importante conoscere il carattere di alcune serie fondamentali in quanto saranno utili nell'applicazione dei criteri di convergenza.

Serie numeriche

Nelle serie numeriche il termine generale della serie $a n$ è un numero che dipende solo da n e non da altre variabili. Le serie numeriche possono essere suddivise in tre tipologie, da ricordare durante l'applicazione dei criteri di convergenza.

Serie a termini positivi

Una serie si dice a termini positivi quando tutti i suoi termini sono positivi. Si noti che tali serie possono solo divergere o convergere.

$z_n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \,\!$

Dove $a n$ è un numero reale positivo.

Per determinare il carattere di una serie a termini positivi si possono utilizzare i seguenti criteri:

1° Criterio del confronto
2° Criterio del confronto
Criterio del rapporto
Criterio della radice
Criterio integrale

Primo criterio di confronto

Date due serie a termini positivi $\sum a_n$ e $\sum b_n$ tali che $\ a_n$ $\leq$ $\ b_n$ :

se la maggiorante converge, le minoranti sono tutte convergenti

se la minorante va all'infinito, le maggioranti sono tutte divergenti.

Secondo criterio di confronto

Date due serie a termini positivi $\sum a_n$ e $\sum b_n$

se $\ b_n$ è convergente, $\lim_{n=+\infty} a_n/b_n$ = Numero finito, $\ a_n$ è convergente

se $\ b_n$ è divergente, $\lim_{n=+\infty} a_n/b_n$ ≠ 0, $\ a_n$ è divergente

Criterio del rapporto

Data una serie $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$

il $\lim_{n=+\infty} (a_n+1)/a_n$ = k

se k>1 è divergente, se k<1 è convergente, se k=1 non si sa.

Criterio della radice

Data una serie $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$

il $\lim_{n=+\infty} \sqrt a_n$ = k

se k<1 è convergente, se k>1 è divergente, se k=1 non si sa.

Serie a termini di segno alterno

Nelle serie a termini di segno alterno tutti i termini consecutivi hanno segno opposto.

$z_n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n \,\!$

Dove $a n$ è un numero reale positivo.

Serie a termini di segno qualunque

Nelle serie a termini di segno qualsiasi esistono infiniti termini positivi e infiniti termini negativi.

$z_n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \,\!$

Dove $a n$ un numero reale di segno qualsiasi.

Serie di funzioni

Le serie di funzioni sono del tutto analoghe alle serie numeriche ma questa volta il termine generale è una funzione.

$z_n = \sum_{n=0}^{+\infty} f(x)_n \,\!$

Fissato un numero $x 0$ la serie di funzioni diventa una serie numerica. Si definisce dominio di convergenza della serie l'insieme dei valori di x per cui la serie converge.

Serie di potenze

Le serie di potenze sono delle particolari serie di funzioni e sono definite come:

$z_n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n \,\!$