Rapporto tra musica e matematica
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Lo stretto rapporto che intercorre la musica alla matematica fu scoperto sin dall'antichità: l'esempio più evidente risiede nella Scuola Pitagorica, a cui si deve la scoperta secondo la quale i differenti toni di una scala sono legati ai rapporti fra numeri interi: una corda dimezzata suona l'ottava superiore, ridotta ai suoi 3/4 la quarta, ridotta ai suoi 2/3 la quinta, e così via.
Il sistema musicale basato su tale principio è chiamato temperamento pitagorico, il quale presenta però l'inconveniente che gli intervalli naturali (formati dalle armoniche di più bassa numerazione e verso i quali tende spontaneamente l'orecchio umano), non si concilia con l’esigenza di dividere l’ottava in parti proporzionali (per evitare di dover modificare l'intonazione delle singole note al cambiare della tonalità).
Ci sono voluti parecchi secoli per trovare una soluzione al problema dei rapporti tra le note (quello che viene chiamato il temperamento).
Una disamina, in chiave più contemporanea, di tale problema è esposta nel testo di D.R. Hofstadter Gödel, Escher, Bach - Un'eterna ghirlanda brillante, nel quale viene ripercorsa una delle opere maggiormente rappresentative di J.S.Bach, L'arte della fuga, per quello che riguarda la comunanza tra la partitura e uno dei problemi maggiormente affrontati e controversi della logica del Novecento, ovvero il tema della ricorsività, il principio (alla base del teorema di Gödel) secondo cui esistono strutture logiche il cui inizio corrisponde alla fine e possono per questo essere percorse infinitamente (problema graficamente rappresentabile con il celeberrimo Nastro di Moebius).
A "L'arte della fuga" di J.S. Bach si deve anche la legittimazione del sistema temperato equabile, che stabilisce rapporti di frequenza tra note non esattamente identici a quelli pitagorici.
Tale sistema deriva dalla necessità di poter accordare strumenti a corda come il pianoforte in modo da poter suonare in diverse tonalità. Il sistema temperato equabile, fatto salvo il rapporto 1/2 per due note a distanza di un'ottava (cioè, ad esempio, tra un do e il do dell'ottava immediatamente superiore), stabilisce che ognuno dei dodici semitoni in cui è soddivisa un'ottava individuino un rapporto pari alla radice dodicesima di due.
In questo modo, la frequenza di ogni nota corrispondente al tasto di un pianoforte è uguale alla frequenza della nota corrispondente al tasto immediatamente precedente, moltiplicata per la radice dodicesima di due. Dodici tasti più a destra, moltiplicando dodici volte per la radice dodicesima di due, si giunge a una nota che ha frequenza esattamente doppia rispetto alla nota di partenza.
Questo sistema equabile stabilisce rapporti di frequenza identici a partire da qualsiasi nota individuata dalla tastiera del pianoforte (o del clavicembalo). In questo modo, si può passare da una tonalità all'altra (cioè effettuare modulazioni) senza problemi di accordatura.
Le modulazioni sono appunto una caratteristica tipica della musica di Bach.
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