Quaternione

I quaternioni sono una estensione dei numeri complessi descritta per la prima volta da William Rowan Hamilton nel 1843. Formano uno spazio vettoriale definito sui numeri reali. I quaternioni hanno 4 dimensioni, mentre i numeri complessi ne hanno 2. Le proprietà dei quaternioni fecero molto discutere i matematici del tempo perché la moltiplicazione tra quaternioni non gode della proprietà commutativa.

L'equazione fondamentale dei quaternioni è

i² = j² = k² = ijk = − 1

Un quaternione viene solitamente espresso tramite 4 numeri Q (a,b,c,d) = a · u + i · b + j · c + k · d, dove u, i, j, k sono le basi dello spazio vettoriale dei quaternioni.

I quaternioni formano un'algebra non commutativa, e le regole per la loro aritmetica sono state scoperte da Willian Rowan Hamilton. Vengono utilizzati in meccanica quantistica e nella teoria della relatività di Einstein.

Indice

1 Definizione 2 Esempio 3 Proprietà 4 Rappresentazioni dei quaternioni tramite matrici 5 Storia 6 Generalizzazioni 7 Voci correlate 8 Collegamenti esterni

Definizione

I numeri complessi sono stati ottenuti aggiungendo l'elemento i ai numeri reali, dove i rispetta questa proprietà:

I quaternioni sono stati ottenuti aggiungendo ai numeri reali gli elementi i, j e k , che soddisfano le seguenti proprietà.

Ogni quaternione è una combinazione lineare reale delle unità dei quaternioni: 1, i, j, e k, ogni quaternione si può esprimere in modo unico con la seguente notazione a + bi + cj + dk. Un quaternione si può dividere in parte scalare (a) e parte vettoriale. Quindi, nel contesto dei quaternioni, un vettore ha parte scalare nulla.

L'addizione dei quaternioni è ottenuta sommando i relativi coefficienti, come nei numeri complessi. Data la linearità degli elementi la moltiplicazione è definita dalla matrice moltiplicativa per le unità dei quaternioni, come mostrato nella tabella seguente:

·	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

Usando questa definizione di moltiplicazione le unità dei quaternioni insieme ai loro opposti formano un gruppo di quaternioni di ordine 8, Q₈.

Esempio

Definiamo

x = 3 + i

y = 5i + j − 2k

Ecco delle semplici operazioni

x + y = 3 + 6i + j − 2k

xy = (3 + i)(5i + j − 2k)

= 15i + 3j − 6k + 5i² + ij − 2ik

= 15i + 3j − 6k − 5 + k + 2j

= − 5 + 15i + 5j − 5k

Proprietà

A differenza dei numeri reali o dei numeri immaginari le moltiplicazioni nei quaternioni non godono della proprietà commutativa:

I quaternioni sono un esempio di anello di divisione, una struttura algebrica simile ai campi eccetto per la commutatività della moltiplicazione. In particolare la moltiplicazione è dotata dalla proprietà associativa, dell'elemento inverso e dell'elemento neutro. Questi formano un algebra associativa a 4 dimensioni costruita sui numeri reali (in effetti sono un algebra di divisione). I quaternioni contengono i numeri complessi, anche se non formano un algebra associativa con essi.

I quaternioni, i numeri complessi e i numeri reali sono le uniche algebre di divisione associative a dimensione finita costruite sui numeri reali.

La non commutatività della moltiplicazione porta una conseguenza inaspettata: le soluzioni dei polinomi definiti con i quaternioni possono essere più di quelle definite dal grado del polinomio. L'equazione n z² + 1 = 0, per esempio ha infinite soluzioni nei quaternioni z = bi + cj + dk con b² + c² + d² = 1.

Il coniugato di un quaternione z = a + bi + cj + dk è definito come z ^* = a − bi − cj − dk

Il valore assoluto di z è il numero reale non negativo definito da

Da notare che (wz)^*= z^*w^*, in generale non è uguale a w^*z^*.

L'inverso moltiplicativo di un quaternione non nullo z può essere calcolato come z⁻¹ = z^* / |z|².

Usando la funzione distanza d(z, w) = |z − w|, i quaternioni formano uno spazio metrico (isometrico con la normale metrica euclidea su R⁴) e le operazioni aritmetiche sono continue. Si ha anche che |zw| = |z| |w| per ogni quaternione z e w. Usando il valore assoluto come norma, i quanternioni formano una algebra di Banach reale.

Come spiegato più dettagliatamente in quaternioni e rotazione spaziale, la rotazione di un angolo 2t attorno a un qualunque vettore unitario bi + cj + dk, porta un qualsiasi altro vettore xi + yj + zk in t^-1(xi + yj + zk)t

dove t = cos(t) + (bi + ci + dk) sin(t)

Non è difficile vedere che la coniugazione con un quaternione unitario con la parte scalare pari a cos(t), corrisponde ad una rotazione di un angolo 2t, dove l'asse della rotazione è la direzione della parte immaginaria.

I quaternioni sono talvolta usati nella grafica al comupter (e nella relativa analisi geometrica) per rappresentare rotazioni o orientamenti di oggetti nello spazio tridimensionale. I vantaggi sono: rappresentazione non singolare (se confrontata con gli angoli di Eulero, per esempio), più compatta e più veloce delle matrici. Similmente, una coppia di quaternioni unitari possono rappresentare una rotazione nello spazio quadrimensionale.

L'insieme di tutti i quaternioni unitari foma una sfera a 3 dimensioni S³ e un gruppo (un gruppo di Lie secondo la moltiplicazione). S³ è il rivestimento universale del gruppo SO(3,R) di matrici reali e ortogonali di determinante 1, in quanto a ciascuna rotazione corrispondono, secondo la corrispondenza sopra espressa, due quaternioni unitari. Il gruppo S³ è isomorfo a SU(2), il gruppo delle matrici unitarie 2×2 complesse e di determinante 1.

Sia A l'insieme dei quaternioni della forma a + bi + cj + dk, dove a, b, c e d sono o tutti numeri interi o tutti numeri razionali con numeratore dispari e denominatore 2. L'insieme A è un anello e un reticolo. Ci sono 24 quaternioni unitari nell'anello, e sono i vertici di un politopo regolare a 24 celle con simbolo di Schläfli {3,4,3}.

Rappresentazioni dei quaternioni tramite matrici

I quaternoni possono essere espressi tramite matrici 2x2 di numeri complessi, oppure matrici 4x4 di numeri reali. Le unità u, i, j, k, nella forma 2x2 e 4x4 sono:

Nella prima forma, il quaternione a + bi + cj + dk è rappresentato da

Questa rappresentazione ha diverse interessanti proprietà:

• Tutti i numeri complessi (c = d = 0) corrispondono a matrici a valori solo reali.
• Il quadrato del valore assoluto di un quaternione è uguale al determinante della matrice corrispondente.
• Il coniugato di un quaternione corrisponde alla coniugata trasposta della matrici.
• Limitandola ai quaternioni unitari, questa rappresentazione fornisce un isomorfismo di gruppo tra le sfera S³ e SU(2). Questo gruppo è importante nella meccanica quantistica per gestire lo spin, vedere anche matrice di Pauli.

Nella seconda forma, il quaternione a + bi + cj + dk è rappresentato da

In quest rappresentazione, il coniugato di un quaternione corrisponde alla trasposta della matrice.

Storia

I quaternioni sono stati scoperti dall'irlandese William Rowan Hamilton nel 1843. Hamilton era alla ricerca di un metodo per estendere i numeri complessi (che possono essere visti come punti su un piano) su un numero maggiore di dimensioni spaziali. Non è stato capace di fare questo per 3 dimensioni, ma 4 dimensioni portano ai quaternioni. Secondo la storia che ha poi raccontato, lui stava passeggiando fuori con sua moglie quando improvvisamente gli venne in mente la soluzione nella forma dell'equazione i² = j² = k² = ijk = −1; allora incise subito questa equazione sul lato del vicino ponte Brougham (noto ora come Broom Bridge) a Dublino.

Questo comporta l'abbandono della legge commutativa, una scelta radicale per il tempo. L'algebra vettoriale e le matrici dovevano essere ancora scoperte. Non solo questo, Hamilton ha in un certo senso inventato il prodotto vettoriale e il prodotto scalare dell'algebra vettoriale. Hamilton inoltre ha descritto un quaternione come una quadrupla ordinata (4-tupla) di numeri reali, e ha descritto la prima coordinata come la parte 'scalare', e le rimanenti tre come la parte 'vettoriale'. Se due quaternioni con parte scalare nulla sono moltiplicati, la parte scalare del prodotto è il prodotto scalare della parte vettoriale cambiato di segno, mentre la parte vettoriale del prodotto è il prodotto vettoriale. Ma il loro significato doveva essere ancora scoperto.

Hamilton continuò a rendere popolari i quaternioni con molti libri, l'ultimo dei quali, Elementi sui quaternioni aveva 800 pagine e fu pubblicato poco dopo la sua morte.

Perfino in questa occasione ci furono delle controversie sull'uso dei quaternioni. Alcuni dei sostenitori di Hamilton si opposero clamorosamente agli emergenti campi dell'algebra vettoriale e dell'analisi vettoriale (sviluppata da Oliver Heaviside e Willard Gibbs fra gli altri), affermando che i quaternioni offrivano una notazione migliore. Mentre su questo si può discutere in tre dimensioni, i quaternioni non possono essere usati in altre dimensioni (benché estensioni come gli ottonioni e l'algebra di Clifford possono essere ancora applicabili). In ogni caso, la notazione vettoriale aveva praticamente sostituito i quaternioni nella scienza e nell'ingegneria nella metà del ventesimo secolo.

Oggi, i quaternioni hanno uso nella grafica computerizzata. teoria del controllo, elaborazione dei segnali, controllo dell'assetto e meccanica orbitale, principalmente nella rappresentazione di rotazioni/direzioni in tre dimensioni. Ad esempio, è comune per i veicoli spaziali un sistema di controllo dell'assetto comandato mediante quaternioni, che sono anche usati per misurare mediante telemetria l'assetto attuale. La ragione è che la combinazione di molte trasformazioni descritte da quaternioni è più stabile numericamente della combinazione di molte trasformazioni matriciali.

Generalizzazioni

Se F è un generico campo e a e b sono elementi di F, è possibile definire un'algebra associativa unitaria a quattro dimensioni su F usando due generatori i e j e le relazioni i² = a, j² = b e ij = −ji. Queste algebre sono isomorfe all'algebra delle matrici 2×2 su F, e inoltre sono delle algebre di divisione su F. Sono chiamate algebre di quaternioni.

Voci correlate

• Numeri complessi
• Ottonione
• Numero ipercomplesso
• Algebra di divisione
• Algebra associativa

Collegamenti esterni

• Sito per spunti
• Doing Physics with Quaternions
• Quaternion Calculator [Java]
• The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton (PDF)
• Kuipers, Jack (2002). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality (Reprint edition). Princeton University Press. ISBN 0691102988

See also: Quaternione, 1843, Albert Einstein, Anello (matematica), Campo (matematica), Determinante, Dublino, Grandezza scalare, Gruppo (matematica), Gruppo di Lie