Quantizzazione del momento angolare

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Definizione del momento angolare

In meccanica quantistica il momento angolare è un' osservabile, quindi è rappresentato da un operatore hermitiano che chiamiamo \vec L.

In meccanica classica la definizione di momento angolare è la seguente:

\vec L = \vec q \wedge \vec p

dove \vec q e \vec p sono rispettivamente il vettore posizione e impulso. Attraverso il principio di corrispondenza è possibile definire il momento angolare in meccanica quantistica come:

\vec L = \vec q \wedge (-i \hbar \vec \nabla)

da cui si possono esplicitare le componenti nel modo seguente:

L_x = -i \hbar \left(y \frac {\partial} {\partial z} - z \frac {\partial} {\partial y}\right)
L_y = -i \hbar \left(z \frac {\partial} {\partial x} - x \frac {\partial} {\partial z}\right)
L_z = -i \hbar \left(x \frac {\partial} {\partial y} - y \frac {\partial} {\partial x}\right)

Osserviamo immediatamente che L_x , L_y , L_z \,\! sono operatori hermitiani, infatti sono combinazioni lineari di operatori hermitiani tra loro commutanti (N.B. posizione e impulso riferiti a coordinate diverse, ad esempio y \,\! e p_x \,\!, commutano!).

Algebra degli operatori di momento angolare

1.In generale vale la relazione

[ L_i , L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k

che dimostriamo nel seguente caso particolare:

[ L_x , L_y ] = [(y p_z - z p_y) , (z p_x - x p_z)]\,\! =
= [y p_z , z p_x] - [y p_z , x p_z] - [z p_y , z p_x] + [z p_y , x p_z]\,\! =
= [y p_z , z p_x] + [z p_y , x p_z]\,\! =
= y p_x [p_z , z] + p_y x [z , p_z] \,\! =
= -i \hbar y p_x + i \hbar p_y x =
= i \hbar (x p_y - y p_x) = i \hbar L_z

2.Vale inoltre:

[ L^2, L_z ] \,\! = 0

infatti:

[ {L_x}^2 + {L_y}^2 + {L_z}^2, L_z ] = [ {L_x}^2 + {L_y}^2 , L_z ] =\,\!
= L_x [ L_x , L_z ] + [ L_x , L_z ]L_x + L_y [L_y , L_z] + [L_y , L_z] L_y =\,\!
= i \hbar L_x L_y + i \hbar L_y L_x - i \hbar L_y L_x - i \hbar L_x L_y = 0

Da 1. si conclude che l'algebra delle componenti del momento angolare è non commutativa.

Da 2. si conclude che gli operatori L^2 \,\! e L_z \,\! diagonalizzano nello stesso sistema ortonormale completo di stati.

Soluzione dell'equazione agli autovalori: via algebrica

Per affrontare il problema dell'equazione agli autovalori è conveniente utilizzare la notazione bra-ket creata da Dirac. Cerchiamo dunque gli autoket simultanei degli operatori L^2 \,\! e L_z \,\!

See also: Quantizzazione del momento angolare, Algebra, Meccanica classica, Meccanica quantistica, Momento angolare, Notazione bra-ket, Operatore, Paul Adrien Maurice Dirac, Spin