Quaterna di numeri proporzionali

28px|left Questo articolo sembra trattare lo stesso argomento di proporzionalità (matematica). Vedi anche le altre pagine da unire.

Quattro numeri sono proporzionali fra loro, se il primo è multiplo o parte del secondo, come il terzo è rispetto al quarto. (Def. 20 - Libro VII degli Elementi di Euclide)

Il termine proporzione si può considerare sinonimo di rapporto (matematica) e il rapporto tra due numeri reali a e b, il secondo dei quali diverso da zero, cioè il quoziente del primo numero rispetto al secondo, viene indicato con:

$\,a:b\ \quad\mbox{oppure}\quad \frac{a}{b}\,$

Al termine proporzione si può anche attribuire il significato di particolare relazione fra quattro numeri.

Si dice che quattro numeri reali positivi a, b, c, d sono in proporzione fra loro, se il rapporto fra il primo e il secondo è uguale al rapporto tra il terzo e il quarto; in formula

$a:b=c:d \quad\mbox{oppure}\quad \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Questa relazione quaternaria si legge: a sta a b, come c sta a d .

Per esprimere questa situazione si può anche dire che i numeri a, b, c, d, nell'ordine costituiscono una quaterna di numeri proporzionali. Questo termine è preciso ma un po' pesante e si può abbreviare parlando di una quaterna proporzionale.

Ad esempio i numeri 3, 6, 5, 10 formano una quaterna di interi proporzionali perché il rapporto 3/6 è uguale al rapporto 5/10. Altre quaterne proporzionali sono

(1.2, 2.7, 5.6, 12.6) e (15, 0.8, 21, 1.02) .

I numeri a, b, c, d si dicono termini della proporzione e in particolare a e c si dicono antecedenti della proporzione, b e d conseguenti della proporzione, a e d estremi della proporzione, b e c medi della proporzione; infine d è detto quarto proporzionale che segue a, b e c.

Dalla definizione si ricava immediatamente la proprietà fondamentale delle proporzioni:

Se quattro numeri sono in proporzione, il prodotto del primo con il quarto è uguale al prodotto del secondo con il terzo. (Prop. 19 - Libro VII degli Elementi di Euclide)

In altre parole: in ogni quaterna proporzionale il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. In formula

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad a d = b c$

Da questa proprietà ne derivano altre:

1. Regola del quarto proporzionale

Noti tre numeri a,b,c, il quarto proporzionale, d, tale che $\,a:b = c:d\,$ , è dato da

$d=\frac{bc}{a}$

Similmente si hanno le formule

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad a=\frac{bc}{d}~,~~ b=\frac{ad}{c}~,~~ c=\frac{ad}{b}$

2. Proprietà dell’invertire

Data una quaterna proporzionale, se ne ottiene un’altra scambiando tra loro ogni antecedente con il proprio conseguente:

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad b:a=d:c$

3. Proprietà del permutare

Data una quaterna proporzionale se ne ottiene un’altra scambiando tra loro o i medi o gli estremi:

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad a:c=b:d\,, \quad d:b=c:a\,, \quad d:c=b:a$

4. Proprietà del comporre

In ogni quaterna proporzionale la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad (a+c):(b+d)=a:b\,, \quad (a+c):(b+d)=c:d$

5. Proprietà dello scomporre

In ogni quaterna proporzionale la differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:

$a:b=c:d \quad \Rightarrow \quad (a-c):(b-d)=a:b\,, \quad (a-c):(b-d)=c:d$

Quando i due medi di una quaterna proporzionale coincidono, cioè quando

$a:b=b:d \quad\mbox{ovvero}\quad b^2=a\cdot d$

il loro comune valore è la media geometrica dei due estremi.

Quaterna di numeri proporzionali

Vedi anche

See also: Quaterna di numeri proporzionali, Elementi di Euclide, Metodo di doppia falsa posizione in Fibonacci, Metodo di falsa posizione in Fibonacci, Proporzionalità, Proporzionalità (matematica), Media geometrica, Quoziente