Probabilità

Quello della probabilità è un concetto che - utilizzato a partire dal '600 - è diventato con il passare del tempo la base di una branca della statistica (la statistica inferenziale), cui faranno ricorso numerose scienze sia naturali che sociali.

Indice

1 Metodologia

1.1 Le tre definizioni
1.2 Definizione Frequentista
1.3 Impostazione assiomatica
1.4 Teoremi

2 Cenni storici

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Metodologia

Le tre definizioni

Definizione classica: La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano ugualmente possibili.
Definizione frequentista: La probabilità di un evento è il limite della frequenza (relativa) dei successi, cioè del verificarsi dell'evento, quando il numero delle prove tende all'infinito. Ovviamente non si tratta di un limite definito nel senso analitico.
Definizione soggettiva: La probabilità di un evento è il prezzo che un individuo razionale ritiene equo pagare per ricevere 1 se l'evento si verifica (e 0 altrimenti).

Quindi se i casi possibili sono n e l'insieme dei casi favorevoli sono n_A, per la teoria classica la probabilità che accada l'evento A sarà:

$p_A = \frac {n_A}{n}$

mentre per la teoria frequentista essa sarà:

$p_A = \lim_{n \to \infty} \frac {n_A}{n}$

Infatti la teoria classica considera che tutti i casi siano equiprobabili, cosa che, invece, nella realtà non accade sempre. La legge frequentista, infatti, considera ciò e, quindi, si basa sulla sperimentazione per cui è una legge sperimentale detta anche legge empirica del caso.

Diverso l'approccio bayesiano di cui è importante rappresentante Bruno de Finetti. Questa teoria introduce la speranza matematica.

Un esempio, dovuto al de Finetti, chiarisce tutto. Immaginiamo che ci sia una partita di calcio e che lo spazio dei tre eventi siano la vittoria della squadra di casa, la vittoria della squadra ospite e il pareggio. Vediamo cosa accade con i tre approcci:

secondo la teoria classica esiste 1 probabilità su 3 che avvenga il primo evento
secondo la teoria frequentista ci si può dotare di un almanacco e controllare tutte le partite precedenti e calcolare la frequenza di un evento
oppure, secondo la teoria soggettiva, ci si può documentare sullo stato di forma dei calciatori, sul terreno di gioco e così via fino ad emettere una probabilità soggettiva.

Definizione Frequentista

Calcolo delle probabilità

In matematica con il calcolo delle probabilità si studiano gli eventi casuali probabili, cioè quegli eventi che possono o non possono verificarsi e che dipendono unicamente dal caso. Tale studio permette di assegnare agli eventi casuali o aleatori un valore numerico al fine di poter confrontare oggettivamente tali eventi e decidere quale tra essi ha maggiore probabilità di verificarsi. La probabilità matematica di un evento casuale è uguale al rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero degli casi possibili ammettendo che tutti i casi abbiano la stessa possibilità di verificarsi.

Nel lancio casuale di un dado l'uscita della faccia con il numero 2 ha una probabilità matematica di 1/6 in quanto i casi possibili sono 6 avendo il dado 6 facce e il numero dei casi favorevoli all'evento "uscita della faccia 2" è 1 in quanto una sola faccia del dado porta impresso il numero 2. Gli eventi casuali probabili vengono così associati ad un numero compreso tra 0 e 1: la sua probabilità matematica calcolata nel modo descritto sopra.

Quando non è noto il numero dei casi favorevoli o il numero dei casi possibili o sono ignoti entrambi per un evento casuale è evidente che non si può calcolare la sua probabilità matematica. Si ricorre in questo caso alla probabilità statistica determinata osservando un modello naturale o artificiale dell'evento casuale da studiare. Se il campione è abbastanza grande, la legge dei grandi numeri dice che è lecito considerare la frequenza dell'evento uguale alla sua probabilità statistica. </div> La definizione frequentista poggia su quella che è definita legge (o postulato) empirica del caso ovvero legge dei grandi numeri: in una successione di prove fatte nelle stesse condizioni, la frequenza di un evento si avvicina alla probabilità dell'evento stesso, e l'approssimazione tende a migliorare con l'aumentare delle prove.

Impostazione assiomatica

L'impostazione assiomatica della probabilità venne proposta da Andrey Nikolaevich Kolmogorov nel 1933 in Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Concetti fondamentali del calcolo delle probabilità), sviluppando la ricerca che era ormai cristallizzata sul dibattito fra quanti consideravano la probabilità come limiti di frequenze relative (cfr. impostazione frequentista) e quanti cercavano un fondamento logico della stessa. La sua impostazione assiomatica si mostrava adeguata a prescindere dall’adesione a una o all’altra scuola di pensiero.

Gli eventi sono sottoinsiemi di uno spazio S, e formano una classe additiva A.
Ad ogni a appartenente alla classe A è assegnato un numero reale non negativo P(a) e mai superiore ad uno, detto probabilità di a.
P(S)=1, ovvero la probabilità di un evento certo è pari ad 1
Se l'intersezione tra a e b è vuota, allora P(a U b)=P(a)+P(b)
Se A(n) è una successione decrescente di eventi e al tendere di n all'infinito l'intersezione degli A(n) tende a 0, allora lim P(A(n))=0

Teoremi

Dai suddetti assiomi derivano alcuni teoremi fondamentali, quali

il teorema della probabilità totale: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
il teorema della probabilità composta: P(A ∩ B) = P(B) P(A | B) = P(A) P(B | A)
il teorema della probabilità assoluta: P(B) = Σ_iP(A_i)P(B|A_i)
il teorema di Bayes: P(A_k | B) = P(A_k)P(B|A_k) / Σ_iP(A_i)P(B|A_i)

nonché concetti chiave come

la probabilità condizionata: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
l'indipendenza stocastica: P(A | B) = P(A)

Cenni storici

I primi studi che portarono successivamente a concetti legati alla probabilità possono essere trovati a metà del XVI secolo in Liber de ludo aleæ di Girolamo Cardano (scritto nel 1526, ma pubblicato solo un secolo e mezzo dopo, nel 1663) e in Sulla scoperta dei dadi di Galileo Galilei (pubblicato nel 1656) nei quali i due autori ottengono degli elenchi di numeri facendo ricorso alle permutazioni.

Il problema della ripartizione della posta in gioco nel caso che un gioco d'azzardo debba essere interrotto, venne affrontato da Fra Luca dal Borgo (detto Paccioli) in Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (pubblicato nel 1494) e successivamente da Tartaglia, per poi essere risolto da Pascal e Fermat.

La nascita del concetto moderno di probabilità viene attribuita a due grandi scienziati quali erano Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), in particolar modo nella corrispondenza che si scambiavano discutendo di un problema legato al gioco d'azzardo: Se si lanciano più volte due dadi, quanti lanci sono necessari affinché si possa scommettere con vantaggio che esca il doppio sei?
(nota: vedi riquadro sul calcolo delle probabilità)

Nello stesso periodo Christiaan Huygens (1629-1695) scrive de ratiociniis in aleæ lugo nel quale utilizza il concetto di valore atteso e il campionamento statistico con e senza riposizione (vedi rispettivamente v.c.Ipergeometrica e v.c.Binomiale).

I suoi lavori influenzano tra l'altro Pierre de Montmort (1678-1719) che scrive nel 1708 Essai d'analyse sur le jeux de hasard, ma anche Jakob Bernoulli e Abraham de Moivre.

Pascal annuncia nel 1654 all'Accademia di Parigi che sta lavorando sul problema della ripartizione della messa in gioco. E in una lettera del 29 luglio dello stesso anno a Fermat propone la soluzione del problema, affrontato con il metodo per ricorrenza, mentre Fermat utilizzava metodi basati sulle combinazioni.

Nel 1713 Jakob Bernoulli formula in Ars conjectandi il primo teorema limite, ovvero la legge dei grandi numeri.

Solo nel '900, negli anni '30, si viene a creare pure una moderna teoria della probabilità grazie soprattutto a Andrey Nikolaevich Kolmogorov che nel 1933 sviluppa la teoria assiomatica in Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ispirandosi alla teoria della misurazione o delle scale di misura il cui dibattito - in quel periodo - era particolarmente acceso tra le psico-discipline.

Nella prima metà del '900 si imposta anche la teoria soggettivista, la cui formulazione è dovuta a Bruno de Finetti.