Principio di indeterminazione di Heisenberg

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Questo è un articolo di Fisica, che presuppone la conoscenza dei seguenti principi:

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Meccanica quantistica
Postulati della meccanica quantistica Principio di indeterminazione di Heisenberg Equazione di Schrödinger Regola di quantizzazione di Dirac Teorema di Ehrenfest Quantizzazione del momento angolare Spin Coefficienti di Clebsh-Gordan Teoria perturbativa Principio di esclusione di Pauli QFT QED QCD
Fisica
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Postulati della meccanica quantistica
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Nella fisica quantistica, il principio di indeterminazione di Heisenberg sostiene che non è possibile conoscere simultaneamente la posizione e la velocità di un dato oggetto con precisione arbitraria. Inoltre quantifica esattamente l'imprecisione. È una delle chiavi di volta della meccanica quantistica e venne formulato da Werner Heisenberg nel 1927.

Indice

1 Panoramica

2 Il principio di indeterminazione come teorema

2.1 Dimostrazione
2.2 N.B.

3 Interpretazioni

Panoramica

Il principio di indeterminazione viene a volte spiegato erroneamente, sostenendo che la misura della posizione disturba necessariamente il momento della particella e lo stesso Heisenberg diede inizialmente questa interpretazione. In realtà il disturbo non gioca nessun ruolo, in quanto il principio è valido anche quando la posizione viene misurata in un sistema e il momento viene misurato in una copia identica del primo sistema. È più accurato dire che, in meccanica quantistica le particelle hanno alcune proprietà tipiche delle onde, non sono quindi oggetti puntiformi, e non possiedono una ben definita coppia posizione e momento.

Si consideri la seguente analogia: supponiamo di avere un segnale che varia nel tempo, come un'onda sonora, e che si vogliano sapere le frequenze esatte che compongono il segnale in un dato momento. Questo risulta essere impossibile: infatti per poter determinare le frequenze accuratamente, è necessario campionare il segnale per un intervallo temporale e si perde quindi la precisione sul tempo. (In altre parole, un suono non può avere sia un tempo preciso, come in un breve impulso, che una frequenza precisa, come in un tono puro continuo). Il tempo e la frequenza dell'onda nel tempo, sono analoghi alla posizione e al momento dell'onda nello spazio.

Il principio di indeterminazione come teorema

Nonostante fosse inizialmente stato formulato come principio, ed il nome sia rimasto tale, nella meccanica quantistica contemporanea si preferisce far discendere il principio di indeterminazione dai postulati. In questo senso il principio di indeterminazione è in realtà un teorema.

Dimostrazione

Presi gli operatori $\hat{A}$ e $\hat{B}$ (associati alle grandezze osservabili A e B) si possono definire gli scarti dalla media come $\hat{A}_0 = \hat{A} - \left \langle \hat{A} \right \rangle$ e $\hat{B}_0 = \hat{B} - \left \langle \hat{B} \right \rangle$ . Di conseguenza le deviazioni standard hanno la forma $\Delta \hat{A}^2 = \left \langle \hat{A}_0^2 \right \rangle$ e $\Delta \hat{B}^2 = \left \langle \hat{B}_0^2 \right \rangle$ .
Il prodotto delle deviazioni standard può essere riscritto come: $\Delta \hat{A}^2 \Delta \hat{B}^2 = \left \langle \hat{A}_0^2 \right \rangle \left \langle \hat{B}_0^2 \right \rangle \geq \left \| \left \langle \hat{A}_0 \hat{B}_0 \right \rangle \right \|^2$ (dove l'ultimo passaggio non è altro che la diseguaglianza di Cauchy-Schwarz).
Per procedere riscriviamo $\hat{A}_0 \hat{B}_0$ in funzione del commutatore e dell'anticommutatore ( $\hat{A}_0 \hat{B}_0 = \frac{1}{2} \left [\hat{A}_0, \hat{B}_0 \right ] + \frac{1}{2} \left \{ \hat{A}_0, \hat{B}_0 \right \}$ ) e notiamo che, dato che le traslazioni non influenzano i commutatori, $\left [\hat{A}_0, \hat{B}_0 \right ] = \left [\hat{A}, \hat{B} \right ]$ .
Supponendo di poter scrivere $\left [\hat{A}, \hat{B} \right ] = i \hat{C}$ (questo, ad esempio, è vero per tutte le grandezze coniugate) otteniamo
$\Delta \hat{A}^2 \Delta \hat{B}^2 = \left ( \Delta \hat{A} \Delta \hat{B} \right )^2 \geq \left \| \left \langle \frac{i}{2} \hat{C} + \frac{1}{2} \left \{ \hat{A}_0, \hat{B}_0 \right \} \right \rangle \right \|^2 \geq \frac{\left \| \left \langle \hat{C} \right \rangle \right \|^2}{4}$ ovvero
$\Delta \hat{A} \Delta \hat{B} \geq \frac{\left \| \left \langle \hat{C} \right \rangle \right \| }{2}$ che è il principio di indeterminazione nella sua forma più generale.
Infatti, nel caso dell'indeterminazione fra posizione e momento, si ha (dato che $\left [ \hat{x}, \hat{p} \right ] = i \hbar$ ) esattamente $\Delta \hat{x} \Delta \hat{p} \geq \frac{\hbar}{2}$ .

N.B.

Come risulta dalla dimostrazione formale di qui sopra il principio di indeterminazione non si applica a tutte le possibili coppie di osservabili. Ad esempio è sempre possibile, in linea di principio, misurare posizione e carica elettrica contemporaneamente e con precisione arbitraria. In maniera analoga, mentre il principio di indeterminazione si applica alla misura di x e della componente della quantità di moto lungo x, questo non si applica alla misura contemporanea di x e di $p y$ (dato che $\left [ x, p_y \right ] = 0$ ).

Interpretazioni

Albert Einstein non era contento del principio di indeterminazione, e sfidò Niels Bohr con il famoso esperimento mentale: "Riempiamo una scatola con del materiale radioattivo che emette radiazioni casuali. La scatola ha uno sportello, che viene aperto e chiuso immediatamente, da un orologio, a un preciso istante, permettendo così a un po' di radiazione di uscire. In questo modo il tempo è già noto con precisione. Vogliamo ancora misurare la variabile coniugata energia, con precisione. Non c'è problema dice Einstein: pesiamo la scatola prima e dopo. L'equivalenza tra massa ed energia, derivante dalla relatività speciale ci permetterà di determinare precisamente quanta energia ha lasciato la scatola". Bohr ribatté come segue: "Se l'energia esce, la scatola è più leggera e si solleverà leggermente sulla bilancia. Questo cambia la posizione dell'orologio. Quindi l'orologio devia dal nostro sistema di riferimento stazionario, e quindi per la relatività speciale, la sua misurazione del tempo sarà diversa dalla nostra, portando ad un inevitabile margine d'errore". Infatti, un'analisi dettagliata mostra che l'imprecisione è correttamente data dalla relazione di Heisenberg.

All'interno della diffusa (ma non universalmente accettata) interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica, il principio di indeterminazione è preso a significare che a un livello elementare, l'universo fisico non esiste in forma deterministica, ma piuttosto come una collezione di probabilità, o potenziali. Ad esempio, il modello (probabilità di distribuzione) prodotto da milioni di fotoni che passano attraverso una fessura di diffrazione, può essere calcolato usando la meccanica quantistica, ma il percorso esatto di ogni fotone non può essere predetto da un metodo conosciuto. L'interpretazione di Copenaghen sostiene che non può essere predetto da ogni metodo.

Ed è questa interpretazione che Einstein stava mettendo in discussione quando disse: "Non credo che Dio abbia scelto di giocare a dadi con l'universo". Bohr, che era uno degli autori dell'interpretazione di Copenaghen rispose: "Einstein, non dire a Dio cosa deve fare".

Einstein era convinto che questa interpretazione fosse errata. Il suo ragionamento era che tutte le distribuzioni di probabilità precedentemente conosciute, sorgessero da eventi deterministici. La distribuzione di un lancio di moneta può essere descritta con una distribuzione di probabilità (50% testa e 50% croce). Ma questo non significa che i movimenti fisici siano impredicibili. La meccanica classica può essere usata per calcolare esattamente come ogni moneta atterrerà, se le forze agenti su di essa sono conosciute. E la distribuzione testa/croce si allineerà con la distribuzione di probabilità (date forze iniziali casuali).

Einstein assunse che ci fossero delle variabili nascoste nella meccanica quantistica che sottostanno alle probabilità osservate.

Né Einstein né altri, sono da allora riusciti a costruire una teoria della variabile nascosta, soddisfacente, e la disuguaglianza di Bell illustra alcuni aspetti critici di questa ricerca. Anche se il comportamento di una particella individuale è casuale, è correlato al comportamento delle altre particelle. Quindi, se il principio di indeterminazione è il risultato di qualche processo deterministico, deve essere il caso che particelle posta a grande distanza, trasmettano istantaneamente l'informazione a tutte le altre, per assicurare che ci sia una correlazione nel comportamento.

Principio di indeterminazione