Postulati della meccanica quantistica

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Questo è un articolo di Fisica, che presuppone la conoscenza dei seguenti principi:

  1. matrice
  2. algebra
  3. hamiltoniana
  4. notazione bra-ket
  5. integrale
  6. derivata
  7. funzione delta di Dirac
  8. operatore

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Meccanica quantistica

Fisica

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Indice
1 Nota introduttiva

1 Gli stati quantici

1.1 Conseguenze

2 Gli osservabili

2.1 Conseguenze

3 La probabilità di un risultato

3.1 Conseguenze

4 Il collasso della funzione d'onda

4.1 Conseguenze

5 L'equazione di Schrödinger

5.1 Conseguenze

Nota introduttiva

Esistono molte formulazioni equivalenti della meccanica quantistica. Ovvero insiemi diversi di postulati e/o di strumenti matematici che danno luogo alle stesse previsioni e che spiegano in maniera altrettanto soddisfacente le stesse classi di fenomeni. Fra queste possiamo citare la celeberrima formulazione, dovuta a Richard Feynman, tramite gli integrali di cammino o la formulazione di David Bohm o l'interpretazione a Molti Mondi. Esiste tuttavia una formulazione standard, formulata in maniera assiomatica seguendo l'interpretazione di Copenaghen, che viene insegnata comunemente nelle università di tutto il mondo e che forma una base comune ed universalmente riconosciuta per lo studio dei fenomeni quantistici.

Gli stati quantici

Ad ogni sistema fisico si associa uno spazio di Hilbert \mathcal{H}. In questo spazio a ciascuno stato del sistema è associata una direzione (ovvero un vettore con una costante moltiplicativa arbitraria).
Dato che ogni stato è definito a meno di una costante moltiplicativa arbitraria è possibile (e viene fatto per convenzione) lavorare solo con vettori normalizzati tali che \left \langle \psi |\psi \right \rangle =1. Questo lascia ancora un'arbitrarietà sulla fase del vettore dato che e^{i \beta} \left |\psi \right \rangle e \left |\psi \right \rangle sono equivalenti per ogni β: solitamente si sceglie β = 0. Se sistema fisico è libero di assumere infinite configurazioni (cosa che capita, ad esempio, ogni volta che esiste un continuo di valori che una certa grandezza può assumere) allora lo spazio di Hilbert che lo rappresenta avrà dimensionalità infinita. Quindi tutti i vettori che lo compongono avranno anch'essi dimendionalità infinita e quindi norma infinita. In questo caso non è possibile procedere alla normalizzazione tramite la semplice moltiplicazione per uno scalare (dovremmo dividere il vettore per infinito) ma si normalizza ogni vettore alla funzione delta di Dirac.

Conseguenze

Dato che ogni vettore in \mathcal{H} rappresenta uno stato fisico anche una combinazione lineare di un numeri arbitrario di questi rappresenterà uno stato fisico (principio di sovrapposizione).

Gli osservabili

A ciascuna grandezza osservabile A è associato un operatore lineare ed autoaggiunto \hat{A} nello spazio \mathcal{H}. L'insieme dei valori possibili per la misura di una grandezza è dato dallo spettro dell'operatore ad essa associato.
La linearità dell'operatore assicura che esso possa essere rappresentato come una matrice (eventualmente infinito dimensionale) in una qualche base, mentre l'autoaggiuntezza assicura che lo spettro dell'operatore sia reale.

Così come è comodo definire funzioni di grandezze, per definire altre grandezze senza doverle definire direttamente, si possono definire matematicamente le funzioni di operatori tramite il loro sviluppo in serie di Taylor (quando questa serie converge, ad esempio e^{\hat{A}}= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\hat{A}^n}{n !}). Lo sviluppo in serie riconduce il problema delle funzioni di operatori a operazioni di somma e di potenza fra matrici.

Conseguenze

Dato che la base in cui rappresentare gli operatori è arbitraria risulta conveniente scrivere un operatore in una base di suoi autovettori (dove la matrice che lo rappresenta è diagonale). Se si vuole misurare contemporaneamente più di una grandezza conviene quindi cercare, quando possibile, di trovare una base di autovettori comuni a tutti gli osservabili a cui siamo interessati; questo risulta essere possibile solo quando gli operatori commutano, ovvero quando [\hat{A},\hat{B}]= \hat{A}\cdot\hat{B} - \hat{B}\cdot\hat{A} = 0.

La probabilità di un risultato

Se il sistema fisico si trova in uno stato \left |\psi \right \rangle la probabilità che l'osservazione di una grandezza A dia come risultato α è direttamete proporzionale a \left | \left \langle \alpha |\psi \right \rangle \right |^2.

Una caratteristica peculiare della meccanica quantistica è quella di fornire soltanto predizioni statistiche invece che deterministiche (come invece succede nella meccanica classica). Questo vuol dire che, anche prendendo in considerazione esperimenti ideali, non è mai possibile predire il risultato di una misura. Quello che invece si può sapere è la probabilità di ottenere come risultato α invece di β.
L'unica eccezione, più teorica che pratica, a questa regola è quando il sistema si trova esattamente su di un autostato \left| \alpha \right \rangle della grandezza A che vogliamo osservare. In questo caso la probabilità di ottenere come risultato α è \left| \left \langle \alpha | \alpha \right \rangle \right|^2 = 1

Conseguenze

Siccome si parla di probabilità di ottenere un risultato è naturale utilizzare in meccanica quantistica il normale formalismo della statistica. In particolare la probabilità totale di ottenere un risultato qualsiasi dovrà essere uguale ad uno ovvero che la somma delle probabilità di ottenere ciascuno dei risultati possibili deve essere uguale ad uno(\sum \left | \left \langle \alpha |\psi \right \rangle \right |^2 = 1).

Il collasso della funzione d'onda

La misura dell'osservabile A sullo stato \left |\psi \right \rangle, supponendo di aver ottenuto α come risultato, proietta \left |\psi \right \rangle sull'autospazio di α.

Questo è sicuramente il meno intuitivo ed il più controverso dei postulati della meccanica quantistica. Il semplice atto di misurare una grandezza infatti è capace di cambiare lo stato del sistema da \left |\psi \right \rangle a \left |\alpha \right \rangle.

Conseguenze

Per via del postulato sulla probabilità di un risultato la probabilità di ottenere come risultato α dalla misura di \left |\alpha \right \rangle deve essere uguale ad 1. Questo vuol dire che, se misurando \left |\psi \right \rangle ottengo α, questo cambierà lo stato del mio sistema in \left |\alpha \right \rangle e quindi ogni successiva misura (compiuta senza che lo stato evolva) dovrà dare lo stesso risultato con probabilità unitaria.
Un'altra conseguenza importante è che, se due operatori \hat{A} e \hat{B} commutano, è possibile trovare una base di autovettori comune e quindi misure indipendenti di queste due grandezze non si influenzano l'un l'altra. Infatti se misuriamo A su di un sistema nello stato \left |\psi \right \rangle questi verrà proiettato sull'autospazio di A e quindi diventerà della forma \left |\alpha \right \rangle. Se poi si misura indipendentemente anche B lo stato diventerà della forma \left |\alpha , \beta \right \rangle che appartiene sia all'autospazio di A che di B. Una successiva misura di A non potrà portare altro che al risultato α e quindi la misura di B non ha influenzato la misura di A. Questo non è vero per coppie di operatori che non commutano la cui misure (anche ideali ed indipendenti) si influenzano reciprocamente. Il valore minimo di incertezza introdotta nelle misure da questo effetto è data dal principio di indeterminazione di Heisenberg (che, nella formulazione assiomatica della meccanica quantistica, è un teorema).

L'equazione di Schrödinger

i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left|\psi (t)\right\rangle= \hat{H} \left|\psi (t)\right \rangle (dove \hat{H} è l'operatore hamiltoniano del sistema).

L'equazione di Schrödinger descrive l'evoluzione temporale degli stati quantistici sotto l'effetto di un'hamiltoniana \hat{H} arbitraria.

Conseguenze

L'equazione di Schrödinger è un'equazione differenziale del primo ordine. Questo implica che l'unica condizione al contorno che è necessario conoscere è \left|\psi (t_0)\right\rangle ovvero che deve esistere un operatore unitario \hat{U}(t) (detto operatore di evoluzione) tale che \left|\psi (t)\right\rangle = \hat{U}(t, t_0) \left|\psi (t_0)\right\rangle. Vedi anche: Equazione di Schrödinger

See also: Postulati della meccanica quantistica, Algebra, Base, Coefficienti di Clebsh-Gordan, Cromodinamica quantistica, David Bohm, Derivata, Elettrodinamica quantistica