Polinomi di Legendre

In matematica per funzioni di Legendre si intendono le soluzioni della equazione differenziale di Legendre:

${d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0$

Queste funzioni sono così chiamate in onore di Adrien-Marie Legendre. La precedente equazione differenziale ordinaria si incontra spesso nella fisica e in vari settori tecnologici; in particolare interviene nella soluzione in coordinate sferiche dell'equazione di Laplace e di equazioni differenziali alle derivate parziali) associate, in particolare l'equazione di Schrödinger.

L'equazione differenziale di Legendre si può risolvere con metodi standard delle serie di potenze. Si hanno soluzioni date da serie convergenti per |x| < 1. Si hanno soluzioni convergenti anche per x = ± 1 purché n sia un intero naturale, n = 0, 1, 2,... : in tal caso le soluzioni al variare di n formano una successione polinomiale detta successione dei polinomi di Legendre.

Il polinomio di Legendre P_n(x) ha grado n e può essere espresso mediante la formula alla Rodrigues:

$P_n(x) = (2^n n!)^{-1} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]$

I polinomi di Legendre sono polinomi ortogonali nell'intervallo -1 ≤ x ≤ 1 rispetto al prodotto interno L²:

$\int_{-1}^{1}dx\, P_m(x) P_n(x) = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}~.$

qui δ_m,n denota la delta di Kronecker, uguale a 1 se m = n e uguale a 0 in caso contrario.

Una costruzione alternativa dei polinomi di Legendre consiste nell'effettuare il procedimento di Gram - Schmidt per la ortogonalizzazione della successione polinomiale {1, x, x², ...}.

Questi sono i primi polinomi di Legendre:

$P_0(x) \,=\, 0$

$P_1(x) \,=\, x$

$P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$

$P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)$

$P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)$

$P_5(x) = \frac{1}{8}(63x^5 - 70x^3 + 15x)$

$P_6(x) = \frac{1}{16}(231x^6 - 315x^4 + 105x^2 - 5)$

I grafici di questi polinomi per n ≤ 5 sono i seguenti:

Immagine:Lpoly.png

Vedi anche:

Polinomi ortogonali Polinomi associati di Legendre

Bibliografia

Abramowitz, M. ; Stegun, I. A. eds. (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover. (V. cap. 8.)

GPL software

http://www.octave.org I polinomi di Legendre, come i polinomi associati, possono essere calcolati numericamente mediante la GPL octave function legendre del contributo octave-forge/specfun a octave-2.1.35 o successive versioni
http://www.gnu.org/software/gsl/gsl.html

Polinomi di Legendre

See also: Polinomi di Legendre, Adrien-Marie Legendre, Delta di Kronecker, Equazione di Laplace, Equazione di Schrödinger, Equazione differenziale, Matematica, Polinomi ortogonali, Successione polinomiale