Paradossi di Zenone
Zenone di Elea, per difendere Parmenide, pensò dei paradossi che dimostrassero che Parmenide aveva ragione. Creò due paradossi contro il pluralismo e quattro contro il movimento.
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Paradossi contro il pluralismo
Primo paradosso
Il primo contro la pluralità delle cose sostiene che se le cose sono molte esse sono sia un numero finito in quanto esse sono né più né meno di quante sono, e nello stesso tempo sono infinite poiché la tra la prima e la seconda ce n'è una terza e così via.
Secondo paradosso
Il secondo invece sostiene che se queste unità non hanno grandezza, le cose da esse composte non avranno grandezza, mentre se le unità hanno una certa grandezza, le cose composte da infinite unità avranno una grandezza infinita.
Paradossi contro il movimento
Primo paradosso
Il primo argomento contro il movimento è quello sullo stadio. Esso afferma che non si può giungere all'estremità di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso, ma prima di raggiungerla si dovrà raggiungere la metà della metà e così via senza quindi mai riuscire a raggiungere l'estremità dello stadio.
Secondo paradosso
Il paradosso di Achille e la tartaruga - uno dei paradossi di Zenone più famosi - afferma invece che se Achille venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, si sarà spostata di un intervallo di spazio; così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga non arriverà mai ad essere pari a zero.
In pratica, posto che la velocità di Achille (Va) sia N volte quella della tartaruga (Vt) le cose avvengono così:
- dopo un certo tempo t1 Achille arriva dove era la tartaruga alla partenza (L1).
- nel frattempo la tartaruga ha compiuto un pezzo di strada e si trova nel punto L2.
- occorre un ulteriore tempo t2 per per giungere in L2.
- ma nel frattempo la tartaruga è giunta nel punto L3 ... e così via.
Quindi per raggiungere la tartaruga Achille impiega un tempo
e quindi non la raggiungerà mai!
Terzo paradosso
Il terzo argomento è quello della freccia. Essa infatti appare in movimento ma, in realtà, è immobile: in ogni istante di fatti occuperà solo uno spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e poiché il tempo in cui la freccia si muove è fatta di infiniti istanti, essa sarà immobile in ognuno di essi. Il concetto di questo terzo paradosso è in fondo opposto a quello del secondo: l'esistenza di punti e istanti invisibili. Ma anche nel caso del terzo argomento il paradosso risulta impossibile in quanto dalla somma di istanti immobili non può risultare il movimento.
Quarto paradosso
Il quarto argomento tratta delle masse nello stadio. Zenone afferma che se due masse in uno stadio si vengono incontro risulterà l'assurdo logico che la metà del tempo equivale al doppio.
Confutazione dei paradossi
In alcuni dei suoi paradossi, Zenone commette l'errore di considerare che, data una serie infinita, debba essere infinita anche la somma. Nel caso specifico di Achille e della tartaruga la serie converge e
- T = L1 / (Va − Vt)
Non crediamo però che l'errore sia "sciocco": una prima dimostrazione di convergenza delle serie infinite non geometriche è stata data, nel solo caso particolare di
solo nel XVI secolo da Richard Suiseth. Il caso generale venne dimostrato nel XVII secolo, mentre Zenone espose i suoi paradossi nel V secolo AC. La tecnica mostrata da Zenone nella suddivisione infinitesimale va sotto il nome di dicotomia.
Il paradosso della freccia, come quello dello stadio, possono essere confutati sviluppando una teoria dei numeri reali che permetta di postulare che lo spazio e il tempo siano infinitamente divisibili, e definendo al contempo la possibilità di misurare un insieme di cardinalità illimitata, concetti che sono stati resi formalmente solo alla fine del XIX secolo.
Negli altri, Zenone implicitamente suppone che le velocità possibili di un corpo siano illimitate superiormente, mentre sappiamo dalla teoria della relatività ristretta che non è così. Ed in questo caso, tra l'esposizione del paradosso e la sua soluzione intercorrono ben 2500 anni!
Come si può vedere, questi paradossi sono stati utili per sviluppare molti concetti alla base della matematica e della fisica moderne, e non si dovrebbe liquidarli banalmente.
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