Parabola (geometria)

Indice

1 Equazione

2 Grafico

3 Proprietà

4 Coefficienti della parabola

5 Costruzione geometrica della parabola

6 Parabola interattiva

7 Collegamenti esterni

Equazione

Una semplice parabola si può definire come l'insieme dei punti $(x, y)$ del piano cartesiano che verificano la relazione:

$\, y = ax^2 + bx + c \,$

con $a$ , $b$ e $c$ che sono numeri reali fissati detti coefficienti della parabola.

Grafico

Immagine:Parabola-geometrica.png

Proprietà

Delta:

$d e l t a = b 2 - 4 a c$

Equazione dell'asse:

$y = - \frac{b}{2a}$

Coordinate del vertice:

$\left( - \frac{b}{2a} , - \frac{delta}{4a} \right)$

Coordinate del fuoco:

$\left( - \frac{b}{2a} , \frac{1-delta}{4a} \right)$

Equazione della direttrice:

$y = - \frac{1+delta}{4a}$

Coefficienti della parabola

Nelle animazioni che seguono si può vedere come varia la forma della parabola al variare dei suoi coefficienti:

Immagine:parabola-A.gif

$y = a * x 2$ (b = 0, c = 0) Il coefficiente a controlla la convessità della parabola:

a > 0 : concavità verso l'alto, vertice in basso
a < 0 : concavità verso il basso, vertice in alto
a = 0 : nessuna concavità: la parabola degenera in una retta

Immagine:parabola-B.gif

$y = x 2 + b x + 2$

Il coefficiente b è legato alla posizione dell' asse della parabola, una retta verticale passante per il punto di ascissa -b/(2*a). Da notare che, restando fisso il coefficiente c, che determina l'intersezione con l'asse delle ordinate, la parabola passerà sempre per quel punto per qualunque valore di b.

Immagine:parabola-C.gif

$y = x 2 - 4 x + c$ (c compreso tra -1 e +3)

Come accennato, il coefficiente c determina il punto di interesezione della parabola con l'asse delle ordinate.

Costruzione geometrica della parabola

Una parabola può essere anche vista come, dati una retta e un punto, il luogo dei punti tali che le distanze tra i punti P-F e P-R sono sempre uguali tra loro (vedi figura sotto):

Immagine:parabola-costruzione.gif

Il punto F è detto fuoco della parabola;
il punto R è la proiezione sulla retta del punto P sulla retta sottostante;
la retta è detta direttrice della parabola.

Parabola interattiva

A questo link è possibile accedere a una pagina per manipolare interattivamente i coefficienti di una parabola per vedere come cambia la figura. Il link appartiene al sito http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/retta_par/parabola/parab03.htm#