Ottonione

In matematica, gli ottonioni sono un estensione non associativa dei quaternioni. L'algebra relativa viene spesso denominata O.

Indice

1 Storia 2 Operazioni algebriche 3 Proprietà 4 Voci correlate 5 Collegamenti esterni

Storia

Sono stati scoperti da John T. Graves nel 1843, e indipendentemente da Arthur Cayley, che pubblicò il primo lavoro su essi nel 1845. Spesso ci si riferisce a essi come ai numeri di Cayley, agli ottetti di Cayley o all' algebra di Cayley.

Operazioni algebriche

Gli ottonioni formano un'algebra a 8 dimensioni non associativa sul campo dei numeri reali e si possono quindi manipolare mediante ottuple (sequenze di lunghezza 8) di numeri reali. Lo spazio vettoriale degli ottonioni è costituito dalle combinazioni lineari dei seguenti ottonioni: 1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆ e e₇. Questi costituiscono una base di elementi invertibili dell'algebra.

Sommare degli ottonioni vuol dire sommare i relativi coefficienti, come per i numeri complessi o per i quaternioni. La moltiplicazione degli ottonioni si ottiene per bilinearità dalla matrice di moltiplicazione degli ottonioni di base, la cui tabella è presentata qui sotto.

·	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
1	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e1	e1	−1	e4	e7	−e2	e6	−e5	−e3
e2	e2	−e4	−1	e5	e1	−e3	e7	−e6
e3	e3	−e7	−e5	−1	e6	e2	−e4	e1
e4	e4	e2	−e1	−e6	−1	e7	e3	−e5
e5	e5	−e6	e3	−e2	−e7	−1	e1	e4
e6	e6	e5	−e7	e4	−e3	−e1	−1	e2
e7	e7	e3	e6	−e1	e5	−e4	−e2	−1

Proprietà

Gli ottonioni forniscono l'unica algebra a dimensione-finita non-associativa definibile sul campo dei numeri reali. Le uniche algebre a dimensione finita associative sono costituite dai numeri reali stessi (algebra monodimensionale), dai numeri complessi (algebra bidimensionale) e dai quaternioni (algebra quadridimensionale). Mentre già con i quaternioni si perde la commutatività della moltiplicazione, gli ottonioni perdono anche l'associatività:

Questo non li rende molto interessanti. Tuttavia essi sono collegati ad alcune strutture matematiche come i gruppi di Lie eccezionali. Il gruppo degli automorfismi (simmetrici) degli ottonioni è il gruppo di Lie G2.

Voci correlate

• Sedenioni
• Numeri ipercomplessi
• Costruzione di Cayley-Dickson
• PSL(2,7)

Collegamenti esterni

• The Octonions - un articolo di John C. Baez

See also: Ottonione, 1843, 1845, Algebra su campo, Costruzione di Cayley-Dickson, Gruppo di Lie, Matematica, Numeri complessi, Numeri ipercomplessi, Numeri reali