Orisfera

Tra le superfici fondamentali della geometria iperbolica, l’orisfera è quella che permette di ricavare le dimostrazioni delle principali formule della trigonometria iperbolica e di definire i rapporti tra la geometria di Lobačevskij e la geometria di Euclide.

In una orisfera si possono dare le seguenti definizioni:

Definizione 1: Raggi: semirette che si originano sulla superficie che appartengono alle rette iperboliche del fascio di III tipo che determinano l’orisfera stessa;

Definizione 2: Piani diametrali dell’orisfera: piani che possiedono almeno un raggio, ossia piani che tagliano l’orisfera in un oriciclo.

Vale il seguente:

Teorema 1: Se un piano diametrale interseca l’orisfera almeno in un punto, allora, o è tangente all’orisfera in quel punto o interseca l’orisfera secondo una circonferenza.

Le principali proprietà dell’orisfera sono le seguenti.

Prop. 1: L’orisfera è una superficie di rivoluzione generata dalla rotazione di un oriciclo intorno a un suo raggio.

Prop. 2: Il raggio di un’orisfera che passa per il punto medio di una sua corda è perpendicolare alla corda.

Prop. 3: Ogni piano diametrale è piano di simmetria per l’orisfera.

Prop. 4: Tutte le orisfere sono congruenti.

Geometria dell’orisfera

È possibile definire una geometria dell’orisfera che consideri:

come linee fondamentali gli oricicli che si trovano sull’orisfera;
come relazioni di ordinamento e di congruenza quelle valide per gli oricicli;
come angolo di due oricicli l’angolo composto dalle rette tangenti ai due oricicli nei rispettivi piani nel loro punto di intersezione.

Vale il seguente

Teorema 2: La geometria precedentemente definita sull’orisfera coincide con la geometria euclidea.

La geometria dell’orisfera definita sopra permette di dimostrare la più conosciuta formula della geometria iperbolica, ossia

$(1) \qquad \tan\frac{\Pi(p)}{2} = \exp\left(-\frac{p}{k}\right)$ ,

dove

$\prod(p) = \alpha$ indica l’angolo di parallelismo, funzione univoca della distanza del punto dalla retta;
k è una costante, chiamata curvatura del piano iperbolico; essa rappresenta la distanza di due oricicli concentrici tali che il rapporto dei loro archi corrispondenti è pari ad e;
p è la distanza di un punto P da una retta r.

In geometria iperbolica non possono esistere triangoli simili e di conseguenza non è possibile definire le funzioni trigonometriche di un angolo α come il rapporto tra i lati di un qualunque triangolo rettangolo avente un angolo acuto pari ad α.

Per fornire una nuova definizione delle funzioni trigonometriche, capace di mantenere inalterate le loro proprietà tipiche, si utilizzano le proprietà dell’orisfera, dove per il teorema 2 è valida la geometria euclidea.

Invece dei segmenti usuali si considereranno archi di oriciclo.

Utilizzando la formula (1) e facendo tendere k all’infinito è possibile, per ogni formula della geometria iperbolica, ricavare la corrispondente formula della geometria euclidea. Pertanto la geometria di Euclide può essere considerata un caso limite della geometria iperbolica.

Infatti, se $k \to \infty$ , allora

$\forall p \quad \exp\left(-\frac{p}{k}\right) \to 1$ ,

per cui

$\Pi(p) \to \frac{\pi}{2}$ .

Ciò significa che a qualsiasi segmento corrisponde come angolo di parallelismo un angolo retto. Grazie ai teoremi di Legendre, si ottiene così l’unicità della parallela come postulato nella geometria euclidea.

Analogamente

$p \to 0$ implica $\exp\left(-\frac{p}{k}\right) \to 1$ ,

per cui

$\tan\frac{\Pi(p)}{2}\to 1$

e pertanto

$\frac{\Pi(p)}{2}\to \frac{\pi}{4}$ ossia $\Pi(p)\to \frac{\pi}{2}$ ;

dunque più p è piccolo, più l’angolo di parallelismo si approssima ad un angolo retto confermando il fatto che in zone “piccole” del piano iperbolico è valida ancora la geometria euclidea.

Orisfera

Orisfera

Geometria dell’orisfera

See also: Orisfera, Angolo, Angolo acuto, Angolo di parallelismo, Archi, Corda, Distanza, Funzioni trigonometriche, Geometria euclidea, Geometria iperbolica