Option pricing

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OPTION PRICING


Un opzione è un contratto che da il diritto di comprare (opzione call) o di vendere (opzione put) il bene sottostante all’opzione ad una certa data (opzione di tipo europeo) oppure entro una certa data (opzione di tipo americano). Il prezzo di vendita o di acquisto del bene sottostante viene fissato al momento dell’acquisto dell’opzione ed è detto strike. Vediamo come determinare i prezzi di alcuni tipi di opzione: Per le opzioni di tipo europeo sono stati utilizzati diversi adattamenti della formula di Black & Scholes, mentre per le opzioni di tipo americano il modello utilizzato è il Cox-Rubinstein, anche noto come modello binomiale. Per le opzioni di tipo europeo si è fatto riferimento a : Gordon Gemmill, Options pricing an international perspective, Mc Graw-Hill (1993); per le opzioni di tipo americano a: J. C. Cox e M. Rubinstein Options Markets, Prentice Hall (1985) e P. Wylmott e J. Dewynne Option pricing: mathematical models and computation, Oxford Financial Press (1993)


Opzioni di tipo europeo

Opzioni su azioni Azioni che non pagano dividendi durante la vita residua dell’opzione Siano: · S= prezzo azione · X= prezzo strike · V= volatilità annuale del prezzo dell’azione · R= tasso di interesse spot annuale dal momento del calcolo alla scadenza dell’opzione · T= durata residua dell’opzione espressa in anni Il valore di una call secondo il modello di Black & Scholes è dato da 

                    C = SN(d1) − erTXN(d2)

con

d_1=\frac{\log{\frac{S}{X}+rT+0.5V^2T}}{V\sqrt{T}}

d_2=d_1-V\sqrt{T}

N(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^x_{-\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt

dove N(x) è la funzione di densità di probabilità cumulata normale.

Opzioni su azioni che pagano dividendi durante la vita residua dell’opzione Sia T il tempo di scadenza dell’opzione, e si supponga che l’azione sottostante l’opzione paghi un dividendo D al tempo t1 <t. Immediatamente dopo il pagamento il prezzo dell’azione passa dal valore S(t1 ) al valore S(t1 )-D . La diminuzione del valore dell’azione dovuta al pagamento del dividendo ha l'effetto di diminuire il valore di una call e di aumentare il valore di una put. Il valore dell’opzione si ottiene nel modo seguente:

a) Si sottrae al prezzo S dell’azione il valore attuale del dividendo ottenendo

S^{*}=S-De^{rt_1}

b) Si applicano la (1) e la (2) e si calcolano le Greche sostituendo S con S* e lasciando gli altri parametri invariati. Nel caso in cui vi siano più dividendi D1,……., Dn pagati ai tempi t1 e tn si sostituisce S con


S^{*}=S-\sum^{n}_{i=1}{D_i}e^{-rt_i}


Opzioni su future

La formula di Black & Scholes per una call su future è:


con

I valori delle Greche per una call su future sono: Per una put si ha invece:

Opzioni su valuta estera

Un’opzione europea su valuta estera da il diritto di acquistare o vendere alla data di scadenza dell’opzione, ad un prezzo strike prefissato, un certo quantitativo di valuta. I valori delle opzioni ottenuti sono relativi ad una unità di valuta straniera; se quindi, ad esempio, si ha un opzione su 1000$ è necessario moltiplicare per 1000 il valore dell’opzione ottenuto. Nel seguito supporremo per semplicità di avere un’ opzione divisa “out” su euro. I parametri necessari alla valutazione di un opzione su valuta sono: 

 (per cambio spot euro su valuta estera si intende il costo in euro di una unità di divisa “out”)

Un’opzione su valuta estera è equivalente ad un opzione su azione che paghi un dividendo continuo nel tempo. Tale dividendo altro non è che il tasso di interesse estero. Merton ha mostrato come modificare le formule di Black & Scholes nel caso di un dividendo continuo. Posto 

ed

si ha con


Le greche assumono i valori: Per una put:

Opzioni su bond

La valorizzazione di opzioni su bond è una parte ancora in sviluppo dell’option pricing e nuovi modelli vengono tuttora elaborati. Il modello più diffuso, grazie soprattutto alla sua semplicità, è quello di Black & Scholes per opzioni su future. Alla base dell’utilizzo di questo modello stanno i concetti di prezzo spot e prezzo forward di un bond.

Prezzo spot di un bond: Siano q1 ,………,qn i coupon del bond (espressi in valore percentuale sul valore nominale del titolo) e siano T1,………,Tn i tempi in cui verranno pagati i coupon ed R1,……,Rn i tassi di interesse spot annuali dal momento del calcolo ai tempi di pagamenti dei coupon. Il prezzo spot di un bond è dato da:


Prezzo forward di un bond: è il prezzo previsto del bond in un istante futuro T. Siano qj ,………,qn i coupon che vengono pagati dal tempo T in poi. Indicando con R il tasso annuale spot da 0 (momento del calcolo) a T , i tassi forward da T ai tempi Tj,………,Tn di pagamento dei coupon qj ,………,qn sono definiti da: ed il prezzo forward del bond è: Il prezzo dei bond viene determinato da SOFIA, utilizzando la curva dei tassi di interesse spot; il parametro che deve essere fornito dall’utente è la volatilità. Stiamo attualmente studiando alcuni modelli recenti, come il Black-Derman-Toy, che utilizzano i tassi di interesse spot , e le relative volatilità al posto del prezzo del bond. Questi dati sono resi quotidianamente disponibili su Internet dalla JP Morgan , e qindi permetterebbero un calcolo automatico e quotidiano del valore di opzioni su bond e su 0-coupon. La valutazione di un opzione su bond: Il prezzo spot viene sostituito dal prezzo forward. Prima di applicare la formula di Black & Scholes per opzioni su future, è necessario stimare la volatilità futura al tempo T di scadenza dell’opzione. La volatilità di un bond tende infatti a zero all’avvicinarsi della maturazione del titolo, e quindi il valore della volatilità al tempo T sarà inferiore a quella attuale. Seguendo il modello di Schaefer & Schwartz abbiamo supposto che la volatilità di un bond dipenda dal suo prezzo e dalla sua duration D, definita da 

secondo la relazione

dove k è una costante. Utilizzando la volatilità e la duration attuali del bond, dalla (5) si ricava il valore della costante k. Si calcola poi la duration forward al tempo T ,ossia la duration DT ottenuta in base ai tassi forward,


Dalla (5) si ricava la volatilità forward al tempo T

per poi applicare la formula di Black & Scholes per future utilizzando come parametri F,X,VT ,R,T.

Opzioni su 0-coupon Il valore di opzioni su 0-coupon viene calcolato in maniera del tutto simile a quello di opzioni su bond. Indicati con T ed R e T1 e R1, rispettivamente il tempo di scadenza dell’opzione ed il relativo tasso annuale spot, il tempo di scadenza del titolo ed il relativo tasso annuale spot, si calcolano: il prezzo spot del titolo


il tasso forward dal tempo T al tempo T1 ,


il prezzo forward,

e dalla (6) la volatilità forward VT per poi applicare la formula di Black & Scholes per future.

Cap&floor


Un cap è un accordo tra due parti, in base a cui il tasso di interesse che una parte paga all’altra su di un prestito a tasso variabile, con rivalutazioni periodiche prefissate, non supererà un valore strike X. In modo analogo un floor è un accordo per cui il tasso su di un prestito non sarà inferiore al valore strike X. Cap e floor vengono pagati dall’acquirente al momento della stipulazione del contratto. Il tasso variabile sul prestito viene, ad ogni rivalutazione, fissato in base ad un indice di riferimento (ad esempio il LIBOR) più un eventuale spread. Un cap è equivalente ad un portafoglio di opzioni call su tassi di interesse, mentre un floor è equivalente ad un portafoglio di put.

Calcolo del valore di cap floor Supponiamo che, come in precedenza, il calcolo avvenga all’istante t=0 ed indichiamo con t1 ,t2…….,tn le date di rivalutazione del prestito e con tn+1 la data della sua conclusione. Al tempo t1 viene fissato un tasso di interesse da pagare sul prestito al tempo t2 pari al valore del tasso spot di riferimento dal tempo t1 al tempo t2 più l’eventuale spread. Se il tasso strike del cap è inferiore al tasso fissato, il cap verrà esercitato; ed al tempo t2 verrà pagato un interesse pari al valore del tasso strike (per periodo), in caso contrario l’opzione verrà abbandonata. La stessa cosa accade ad ogni data di rivalutazione successiva. La formula utilizzata per la valutazione dei cap è quella di Black &Scholes per future con i seguenti parametri:

ed il cap ha il valore

Il valore di ogni call che costituisce il cap è scontato con il tasso forward Fi in quanto il pagamento degli interessi sul prestito non avviene quando viene fissato il tasso ma alla rivalutazione successiva.


In modo del tutto analogo si ricava:



Opzioni di tipo americano


Il modello che sta alla base del calcolo del valore di opzioni di tipo americano è il modello binomiale, che è quello che permette la maggiore accuratezza nella valutazione di questo tipo di opzioni. Il modello utilizza un algoritmo di tipo iterativo che, per dare un risultato sufficientemente preciso deve compiere almeno un centinaio di passi. Per questo motivo sono presenti in letteratura alcuni modelli, come ad esempio quello di Barone-Adesi-Whaley, che utilizzano una formula analitica, tipo quella di Black & Scholes e che quindi, pur essendo meno precisi, richiedono un tempo di computazione molto inferiore. La velocità dei calcolatori attuali tuttavia permette di utilizzare il modello binomiale senza problemi.

Opzioni su azioni

La costruzione dell’albero binomiale: la durata residua T dell’opzione viene suddivisa in un numero N di intervalli di uguale ampiezza DT=T:N. Si suppone poi che il valore del prezzo dell’azione alla fine di ciascun intervallo possa passare dal valore S(t), assunto all’inizio dell’intervallo, al valore uS(t) con probabilità p oppure al valore dS(t) con probabilità 1-p, dove u è una costante maggiore di uno e d=1:u. Scegliendo ad esempio n=3 si ottiene una struttura ad albero come quella rappresentata nella figura che segue.


L’albero binomiale per N=3

I valori di u, d e p utilizzati nel modello binomiale sono: dove con R abbiamo indicato il tasso spot annuale dal momento del calcolo alla scadenza dell’opzione e con V la volatilità dell’azione. Vediamo ora come l’albero binomiale viene utilizzato per calcolare il valore di una call. · Si calcolano i prezzi dell’azione nei punti terminali dell’albero, cioè al passo N ottenendo:

· Si ricavano gli N+1 valori dell’opzione al passo N


(X indica lo strike) · Si calcolano gli N valori dell’opzione al passo N-1 ponendo:

dove con Sk,N-1 abbiamo indicato i valori dell’opzione al passo N-1. · Si ottengono i valori dell’opzione al passo N-2 sostituendo Sk-1,N-1 con Sk-2,N-2; Ck,N con Ck-1,N-1; Ck,-1,N con Ck,-2,N-1 ed applicando nuovamente la (8) · Iterando il procedimento descritto nel punto precedente si procede a ritroso sull’albero binomiale sino a determinare il valore dell’opzione nel nodo iniziale, ottenendo così il valore cercato.

La valutazione di put americane è concettualmente del tutto analoga: è infatti sufficiente sostituire la (7) con

e la (8) con


Opzioni americane su azioni che pagano dividendi: Supponiamo che l’azione sottostante l’opzione paghi un dividendo D1 ad un tempo t1 <T. Il primo passo è quello di trasformare il dividendo in un dividend yeld

d rappresenta il valore percentuale del valore attuale del dividendo sul prezzo dell’azione. Si determina poi in quale degli N intervalli di ampiezza DT cade t1 ; a partire dall’intervallo successivo il prezzo dell’azione S nella (7) e nella (8) viene moltiplicato per un fattore (1-d). Nel caso di più dividendi D1,….,Dm pagati ai tempi t1,……,tm si calcolano gli yeld di di ciascuno

si determina in quale intervallo di ampiezza DT ciascuno di essi cade; a partire dall’intervallo seguente si moltiplica il prezzo dell’azione (già scontato del prodotto dei fattori (1-dk) ricavati dai dividendi caduti prima di D i ) per un fattore (1-d i).

Le greche di opzioni americane: Poiché il valore di un’opzione americana non è una funzione analitica di S,X,V,R,T non è possibile calcolarne le derivate parziali in maniera esatta. Le abbiamo quindi approssimate con il relativo rapporto incrementale scegliendo h=0.001.

Opzioni americane su future

Si fissa il numero di parti N in cui dividere la durata residua T dell’opzione e a partire dal prezzo attuale F del future si costruisce l’albero binomiale in maniera identica a quella vista per le opzioni su azioni. I valori da utilizzare per u,d,p sono:


dove con D abbiamo indicato il tasso annuale spot estero dal momento del calcolo (t=0) alla scadenza dell’opzione (t=T).

Opzioni americane su bond e su 0-coupon

Si fissa N e si procede nel modo descritto per le corrispondenti opzioni europee utilizzando il binomiale invece della formula di Black & Scholes.

See also: Option pricing