Numero naturale

L'espressione "numeri naturali" viene usata sia per la sequenza di numeri positivi (1, 2, 3, 4, ...) sia per quella dei numeri non negativi (0, 1, 2, 3, 4, ...).

Questi sono i primi numeri che si imparano da bambini e sono i più semplici da comprendere. I numeri naturali hanno due scopi principali: possono essere usati per il contare ("ci sono 3 mele sul tavolo"), o possono essere usati per definire un ordinamento ("questa è la terza città più grande nel paese")..

L'insieme dei numeri naturali viene indicato con N nella maggior parte della letteratura matematica contemporanea e negli articoli qui presenti (a meno di qualche disattenzione) si assume che l'insieme dei numeri naturali contenga anche lo zero. Per questo insieme utilizziamo la notazione N o \mathbb{N}; per mettere in evidenza che contiene lo 0 si usano anche le scritture N0 e \mathbb{N}^{0}.

Per l'insieme dei numeri positivi si utilizzano notazioni come N+, N+, \mathbb{N}^+, \mathbb{N}_+, \mathbb{P}.

Indice
1 Teorie
2 Cenno storico
3 Definizione astratta
4 Vedi anche

Teorie

L'insieme dei numeri naturali si può caratterizzare univocamente (a meno di isomorfismi) mediante gli Assiomi di Peano.

Le proprietà dei numeri naturali relativi alla divisibilità, la distribuzione dei numeri primi, sono studiate in quella che viene chiamata teoria dei numeri. I problemi riguardanti sequenze numeriche finite, altre configurazioni numeriche e problemi di enumerazione, quali la teoria di Ramsey, sono studiati nell'ambito della teoria combinatoria o combinatorica.

Cenno storico

Le origini dei numeri naturali vengono normalmente fatte risalire ai Babilonesi nel 2000 AC, come testimoniato dalla tavoletta Plimpton 322, "sussidiario di matematica" per gli studenti dell'epoca. Il superamento dei numeri naturali è attribuito ai pitagorici. Importanti risultati riguardanti i numeri interi sono contenuti negli Elementi di euclide. Diofanto si pone i problemi della soluzione di equazioni riguardanti solo numeri interi. Risultati e spunti fondamentali sono dovuti a Pierre de Fermat. Lo studio dei numeri interi viene ripreso nel XIX secolo da matematici del livello di Carl Friedrich Gauss e Carl Jacobi e da allora viene considerato un capitolo primario della matematica (v.a. Ultimo teorema di Fermat)

Secondo Leopold Kronecker: "Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell'uomo".

Definizione astratta

Nonostante la sua intuitività, quello di numero naturale, non è, in matematica, un concetto primitivo; è infatti possibile darne una definizione basandosi unicamente sulla teoria degli insiemi. La definizione è utile perché permette anche di estendere il concetto di numero a oggetti più generali: i numeri transfiniti.

Un numero naturale si può definire come una classe di insiemi aventi uguale cardinalità finita. In sostanza, si parte dalla proprietà (intuitiva) che tra due insiemi qualsiasi aventi lo stesso numero di elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca e la si riformula come definizione: tutti gli insiemi tra i quali si può stabilire una corrispondenza biunivoca vengono accomunati in una classe, che è come assegnare loro un'"etichetta", a questa etichetta viene dato il nome di numero naturale. La classe corrispondente all'insieme vuoto viene indicata con 0.

L'operazione di somma viene definita nel modo seguente: date due classi di insiemi (quindi due numeri) a e b, se A e B sono insiemi disgiunti appartenenti alle classi a e b rispettivamente, la somma a + b è la classe di equivalenza dell'insieme A U B. È facile vedere che la definizione è ben posta, vale a dire che, presi due diversi insiemi disgiunti A' e B' in a e b, A' U B' sta nella stessa classe di equivalenza di A U B, cioè tra A' U B' e A U B è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca.

Le classi di equivalenza degli insiemi infiniti non corrispondono a nessun numero naturale; possono tuttavia essere identificati con diversi ordini di infinito; tali entità non conservano le proprietà algebriche dei numeri naturali, la costruzione di oggetti corrispondenti a insiemi di cardinalità infinita che abbiano delle proprietà algebriche simili a quelle dei numeri naturali è oggetto di studio della teoria dei transfiniti.

Vedi anche


Categoria:Teoria dei numeri Categoria:Teoria degli insiemi

See also: Numero naturale, Assiomi di Peano, Cardinalità, Carl Friedrich Gauss, Carl Jacobi, Cinque, Classe (insiemistica), Corrispondenza biunivoca, Diciannove, Diciassette