Successione di Fibonacci

[[Immagine:Merz Fibonacci Torino.JPG|thumb|right|250px|Il volo dei numeri di ]] La successione di Fibonacci è una sequenza di numeri interi naturali definibile assegnando i valori dei due primi termini, F0:=0 ed F1:=1, e chiedendo che per ogni successivo sia Fn := Fn-1 + Fn-2.

La sequenza prende il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci e i termini di questa successione sono chiamati numeri di Fibonacci. I primi 41 numeri di Fibonacci sono:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 (=F10),
89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 (=F20),
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 32040 (=F30),
1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155 (=F40)

Nella OEIS di Sloane la successione di Fibonacci ha la sigla A000045. I numeri di Fibonacci godono di una gamma stupefacente di proprietà, si incontrano nei modelli matematici di svariati fenomeni e sono utilizzabili per molti procedimenti computazionali; essi inoltre posseggono varie generalizzazioni interessanti. A questi argomenti viene espressamente dedicato un periodico scientifico, The Fibonacci Quarterly.

Indice
1 Proprietà
2 Curiosità
3 Articoli correlati
4 Collegamenti esterni

Proprietà

Nelle formule che seguono talora scriveremo F(n) invece di Fn.

La proprietà di base dice che se un qualsiasi numero della successione è elevato al quadrato, questo è uguale al prodotto tra il numero che lo precede e quello che lo segue, aumentato o diminuito di una unità.

Si trova poi che il rapporto Fn / Fn-1 al tendere di n all'infinito tende alla costante sezione aurea \,\phi=1.6180339887...\, .

Si trova anche che l'n-simo numero di Fibonacci si può esprimere con la formula:

F\left(n\right) = {\phi^n \over \sqrt{5}} - {(1-\phi)^n \over \sqrt{5}}.

Talora risulta comodo servirsi dei numeri di Fibonacci Fn:=0 per n intero qualsiasi ponendo

F_{-n} := (-1)^{n+1} F_n \quad \mathrm{per} \quad n = 1, 2, ... .

A partire dai numeri di Fibonacci e dalla sezione aurea si possono definire alcune funzioni speciali: coseno iperbolico di Fibonacci, cotangente iperbolica di Fibonacci, seno iperbolico di Fibonacci, tangente iperbolica di Fibonacci.

Curiosità

La Successione di Fibonacci è rappresentata in un'installazione luminosa di Mario Merz (Il volo dei numeri), che caratterizza una delle fiancate della Mole Antonelliana di Torino.

Articoli correlati

Collegamenti esterni

See also: Successione di Fibonacci, Centoquarantaquattro, Cinquantacinque, Cinque, Due, Leonardo Fibonacci, Mario Merz, Mole Antonelliana, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, Ottantanove