Numero complesso

Gli insiemi dei numeri nel corso dei secoli, sono andati mano mano allargandosi, per rispondere all'esigenza dell'uomo di dare soluzione a problemi ed equazioni sempre nuovi.

I numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali.

Ad esempio, l'equazione $x 2 = - 1$ non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.

Si definisce allora il valore i, chiamato anche unità immaginaria, il quale gode della seguente proprietà:

i 2 = - 1

I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale ed una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:

a + i b

dove a e b sono numeri reali, mentre i è l'unità immaginaria.

Le leggi della somma e del prodotto nei numeri complessi si applicano cosi:

$( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ) \,$

$( a + ib ) \cdot ( c + id ) = ac - bd + i ( bc + ad ) \,$

Qualunque equazione polinomiale può essere risolta attraverso i numeri complessi. Anzi il calcolo differenziale, alla luce dell'analisi complessa mostra scoperte irraggiungibili da funzioni di variabili reali.

I numeri complessi al contrario dei reali non si possono vedere come continuativi su di una retta bensì occorre rappresentarli graficamente attraverso il diagramma di Argand-Gauss, cioè un piano cartesiano con due assi ortogonali: sull'asse verticale viene mappata la parte immaginaria e su quello orizzontale viene mappata la parte reale. Per brevità, il diagramma di Argand-Gauss viene anche detto piano di Gauss.

In matematica il termine complesso come aggettivo viene utilizzato per definire l'insieme su cui lavorano gli operatori matematici. Per esempio matrici complesse, polinomi complessi e algebra di Lie complessa.

Storia

Il più antico riferimento alla radice di un numero negativo lo si ha negli scritti di Heron di Alessandria risalenti al I secolo AC. In questi scritti l'autore cerca di determinare il volume della piramide tagliata da due piani non paralleli. La comparsa di radici di numeri negativi iniziò a farsi più frequente nel XVI secolo quando vennero scoperte le soluzioni delle equazioni di terzo grado e il matematico italiano Tartaglia riuscì a risolvere le equazioni di quarto grado. Queste formule evidenziavano che anche se uno era interessato solo alle soluzioni reali spesso era costretto a lavorare con le radici di numeri negativi. Questo era sconvolgente dato che nemmeno i numeri negativi erano considerati dei veri numeri, la maggioranza dei matematici li riteneva dei trucchi utilizzati per arrivare alla soluzione. Il termine "immaginario" venne utilizzato per la prima volta da René Descartes nel XVII secolo e ben rappresenta la titubanza dei matematici dell'epoca verso questi nuovi numeri che "non dovrebbero esistere". Nel XVIII secolo i lavori di Abraham de Moivre e di Leonhard Euler hanno iniziato a fornire ai numeri complessi una base teorica. A de Moivre si deve (1739) la famosa formula che porta il suo nome:

$(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta \,$

e a Eulero (1748) la formula di Eulero per l'analisi complessa:

$\cos \theta + i \sin \theta = e ^{\theta i} \,$ .

L'esistenza dei numeri complessi non è stata accettata completamente fino a che non è stata scoperta la loro interpretazione geometrica (vedi oltre) da Caspar Wessel nel 1799; riscoperta e resa famosa parecchi anni dopo da Carl Friedrich Gauss. Con Gauss la teoria dei numeri complessi ha avuto un'espansione notevole. L'idea della rappresentazione grafica dei numeri complessi era stata accennata fin da 1685, da Wallis nel 'tractatus del De Algebra .

La memoria del Wessel presente negli atti dell'accademia di Copenhaghen del 1799 è chiara e completa, anche paragonata alla moderna teoria. Inoltre considera anche la sfera e dà una teoria dei quaternioni da cui sviluppa una trigonometria sferica completa. Nel 1804 anche Abbé Buée arriva alla medesima idea che Wallis aveva suggerito, cioè che quel $\pm\sqrt{-1}$ dovrebbe rappresentare una linea posta a metà tra un numero ed il suo negativo e che la linea dovesse essere, perpendicolare all'asse reale. La relazione del Buée non venne pubblicata fino al 1806, nello stesso anno Jean-Robert Argand pubblicò un opuscolo sul medesimo argomento. È al saggio del Argand che si deve il fondamento scientifico per la rappresentazione grafica dei numeri complessi. Tuttavia, nel 1831 Gauss ritenendo la teoria sconosciuta ne scrisse un saggio pubblicato nel 1832 portando il mondo matematico a conoscenza dei numeri complessi e della loro rappresentazione geometrica. Merita menzione anche un piccolo trattato scritto da Mourey nel (1828), in cui sono definiti scientificamente i fondamenti per la teoria dei numeri direzionali. L'accettazione generale della teoria dei numeri complessi si deve anche a Cauchy e Abel, in particolare al secondo che è stato il primo ad scrivere in grassetto i numeri complessi con il successo che è ben noto.

I termini più comuni usati nella teoria sono dovuti principalmente ai fondatori: Argand chiama $cosφ + i sinφ$ il fattore direzionale, e $r = \sqrt{a^2+b^2}$ il modulo; Cauchy (1828) chiama $cosφ + i sinφ$ la forma ridotta (l'expression réduite); Gauss usa $i$ per $\sqrt{-1}$ , introduce il termine "numero complesso" $a + b i$ , e chiama $a 2 + b 2$ la norma.

L'espressione coefficiente direzionale, usata spesso per $cosφ + i sinφ$ , è dovuto a Hankel (1867), invece valore assoluto, per il modulo, lo si deve a Weierstrass.

Dopo Cauchy e Gauss vi sono stati un certo numero di contributi di alto livello, tra cui non si può non accennare a Kummer (1844), Kronecker (1845), Scheffler (1845, 1851, 1880), Bellavitis (1835, 1852), Peacock (1845) e De Morgan (1849). Non si può non citare anche Möbius per le sue memorie riguardanti le applicazioni geometriche dei numeri complessi e Dirichlet che espanse la teoria includendo le congruenze, la legge di reciprocità quadratica, ecc.

Altri tipi di numeri complessi sono stati studiati, oltre al familiare

a + b i

, in cui la

i

è la radice di

x 2 + 1 = 0

. Eisenstein ha studiato il tipo

a + b j

, di cui

j

è la radice di

x 3 - 1 = 0

. Similmente, i tipi complessi sono stati derivati da

x k - 1 = 0

(con

k

numero primo). Questa generalizzazione è in gran parte dovuta a Kummer, il quale ha inoltre contibuito alla teoria dei numeri ideali, che recentemente è stata facilitata da Klein (1893) dal punto di vista della geometria. Una teoria complessa successiva è dovuta a Galois, le cui basi sono le radici immaginarie di una congruenza irriducibile,

$F(x) \equiv 0$

(mod

p

, con a numero primo). Gli ultimi scritti (del 1884) sulla teoria generale si devono a Weierstrass, Schwarz, Dedekind, Hölder, Berloty, Poincaré, Study e Macfarlane.

La definizione corretta utilizzante due numeri reali è stata formulata nel XIX secolo.

Definizione

Formalmente i numeri complessi sono definiti come una coppia ordinata di numeri reali (a, b) che ammette le seguenti operazioni:

$( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) \,$
$( a , b ) \cdot ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ) \,$

Così definiti i numeri complessi formano il campo dei numeri complessi. Il campo detto anche insieme dei numeri complessi si indica con la lettera C (o

$\mathbb{C}$

in grassetto bordato).

Per identificare il numero reale "a" nel campo complesso si usa la seguente notazione, (a, 0), dato che i numeri reali sono un sottoinsieme dei numeri complessi. In C l'unità immaginaria i si indica come (0,1).

In C è definita l'operazione topologica di chiusura dei numeri algebrici e la chiusura algebrica di R.

Geometria

right|

Un numero complesso può essere visto come il punto indicato da un vettore posizionale in un sistema bidimensionale a coordinate cartesiane. Una rappresentazione di questo tipo si chiama diagramma di Argand. Nella figura si vede

$z = x + iy = r (\cos \phi + i\sin \phi ). \,$

Un altro modo di esprimere un numero complesso utilizza r cis φ, dove cis $φ = (cosφ + i sinφ)$ . Normalmente r è chiamato il valore assoluto di z e φ è chiamato argomento complesso di z. Tuttavia, la formula di Eulero ci dice che e^{i φ} = cis φ . La forma esponenziale ci da una migliore comprensione della "r" rispetto alla forma r cis φ, infatti questa forma non viene quasi mai usata negli articoli di matematica.

Delle semplici identità trigonometriche sono:

$r_1 e^{i \phi_1} \cdot r_2 e^{i \phi_2} = r_1 r_2 e^{i (\phi_1 + \phi_2)} \,$

e ancora

$\frac{r_1 e^{i \phi_1}} {r_2 e^{i \phi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\phi_1 - \phi_2)} \,$

La somma di un vettore con un altro vettore produce dello spazio vettoriale dei numeri complessi una moltiplicazione rotazione del vettore risultante.

Moltiplicare un vettore o equivalentemente un numero complesso per l'elemento "i" produce una rotazione di 90 gradi dell'elemento risultante. Ovviamente la moltiplicazione per "i" e poi ancora per "i" produce una rotazione di 180 gradi, ciò è logico se ci si ricorda che "i" * "i" =-1 e infatti se il numero di partenza era positivo dopo le moltiplicazioni si ottiene lo stesso numero cambiato di segno.

Valore assoluto, coniugato e distanza

Ricordando che il valore assoluto (o modulo) in un numero complesso z = r e^iφ è definito come |z| = r. Algebricamente, se z = a + ib, allora |z| = √(a² + b² ).

Si può verificare che il valore assoluto ha tre proprietà importanti:

$| z + w | \leq | z | + | w | \,$

$| z w | = | z | \; | w | \,$

$| z / w | = | z | / | w | \,$

tutti i numeri complessi z e w . Definendo la funzione di distanza d(z, w) =|z - w| rendiamo i numeri complessi uno spazio metrico e possiamo quindi parlare di limiti e di continuità. La somma, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione dei numeri complessi sono allora funzioni continue. A meno che diversamente specificato, questo è la spazio metrico utilizzato dai numeri complessi.

Il complesso coniugato del numero complesso z = a + ib è definito come a - ib, scritto come $\bar{z}$ or z^*. Guardando la figura, $\bar{z}$ è la riflessione di z rispetto all'asse reale. Si possono verificare le seguenti proprietà:

$\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$

$\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$

$\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}$

$\bar{\bar{z}}=z$

$\bar{z}=z$ se e solo se z è reale

$|z|=|\bar{z}|$

$|z|^2 = z\bar{z}$

$z^{-1} = \bar{z}|z|^{-2}$ se z non è uno zero

La formula finale è utilizzata per calcolare l'inverso di un numero complesso se è data nelle coordinate rettangolari.

L'argomento complesso di z=re^iφ è φ. Nota che l'argomento complesso è unico a meno di modulo 2π.

Rappresentazione matriciale dei numeri complessi

Mentre solitamente non sono utili, le rappresentazioni alternative del campo complesso possono dare una certa comprensione nella loro natura. Una speciale rappresentazione rappresenta ogni numero complesso come una matrice 2×2 di numeri reali che se modificati spostano e ruotano i punti nel piano. La matrice ha la forma

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{pmatrix}$

con a e b numeri reali. La somma ed il prodotto di due matrici è ancora di questa forma. Ogni elemento diverso da zero nella matrice è invertibile ed il relativo inverso è ancora di questa forma. Di conseguenza, le matrici di questa forma sono un campo. Infatti, questo è esattamente il campo dei numeri complessi. Ciascuna matrice può essere scritta come:

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix}$

questa rappresentazione implica che il numero reale 1 va rappresentato con la seguente matrice

$\begin{pmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix}$

e questa è la rappresentazione dell'unità immaginaria i

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix}$

che moltiplicata per un'altra matrice 2×2 la ruota in senso antiorario di 90 gradi. Si noti che il quadrato di questa matrice è effettivamente uguale a -1.

Il valore assoluto di un numero complesso espresso come matrice è uguale alla radice quadrata del determinante di quella matrice. Se la matrice è considerata come la trasformazione di un punto nel piano, allora la trasformazione ruota i punti con un angolo uguale al coefficiente direzionale del numero complesso e scala il punto di un fattore uguale al valore assoluto del numero complesso. Il coniugato del numero complesso z corrisponde alla trasformazione che ruota z con lo stesso angolo ma nel senso opposto e con modulo uguale; ciò può essere descritto dalla trasposta della tabella che corrisponde a z.

Alcune proprietà

Spazio dei vettori reali

C è uno spazio vettoriale reale a due dimensioni.

Diversamente dai numeri reali i numeri complessi non possono essere ordinati, non esiste ordinamento che conservi le operazioni aritmetiche, C non può diventare un campo ordinato.

Soluzioni delle equazioni polinomiali

Le radici del polinomio p sono dei numeri complessi z tali che p(z)=0. Un risultato notevole è che tutti i polinomi di grado n hanno esattamente n soluzioni reali o complesse contate a seconda della loro molteplicità. Questo è conosciuto anche come teorema fondamentale dell'algebra e indica che i numeri complessi sono dei campi algebrici chiusi.

Effettivamente, il campo dei numeri complessi è una chiusura algebrica del campo dei numeri reali. Può essere identificato come anello dei quozienti del polinomio anello R[x] dall'ideale generato dal polinomio X² + 1:

$\mathbb{C} = \mathbb{R}[ X ] / ( X^2 + 1). \,$

Questo è effettivamente un campo perché X² + 1 è irriducibile. L'immagine di X in questo anello dei quozienti si transforma nell'unità immaginaria i.

Analisi complessa

Lo studio delle funzioni con variabili complesse è chiamata analisi complessa ed è usatissima nella matematica applicata e nella teoria dei numeri oltre che in altre branche della matematica. Spesso, le dimostrazioni più semplici per gli enunciati dell'analisi reale o persino della teoria dei numeri impiegano tecniche di analisi complessa (vedi teorema dei numeri primi per un esempio). Diversamente delle funzioni reali che sono rappresentate comunemente come grafici bidimensionali, le funzioni complesse hanno grafici a quattro diemensioni e spesso vengono rappresentate come grafici colorati dove il colore rappresenta la dimensione mancante. Si possono anche usare delle animazioni per mostrare la trasformazione dinamica della funzione complessa del piano complesso.

Applicazioni

Teoria dei sistemi e controllo automatico

Nella teoria dei sistemi, si trasformano i sistemi definiti nel dominio del tempo a sistemi definiti nel dominio delle frequenze usando la trasformata di Laplace. I poli e gli zeri del sistema vengono studiati nel piano complesso estraendo il luogo delle radici, il grafico di nyquist e il grafico di nichols che vengono utilizzati per stabilire le proprietà del sistema. Il luogo delle radici in particolare è molto importante perché a seconda di dove si trovano i poli o gli zeri rispetto all'asse immaginario dipende la stabilità del sistema. Se in un diagramma i poli hanno:

la parte reale positiva il sistema sarà instabile
la parte reale negativa il sistema sarà stabile
la parte reale nulla il sistema sarà marginalmente stabile

Gli zeri vengono utilizzati per verificare se il sistema è a fase minima

Analisi dei segnali

I numeri complessi vengono utilizzati nell'analisi dei segnali e in tutti i campi dove si trattano segnali che variano sinusoidalmente nel tempo, o anche semplicemente periodici. Il valore assoluto di |z| è interpretato come la ampiezza del segnale mentre l'argomento di z è interpretato come la fase. I numeri complessi rendono possibile anche l'analisi di Fourier, che rende possibile scomporre un generico segnale tempo-variante in una somma di infinite sinusoidi: ogni sinusoide è scritta come un singolo numero complesso

$f ( t ) = z e^{i\omega t} \,$

dove ω è la frequenza della sinusoide e z la sua ampiezza.

Nell'ingegneria elettrica ed elettronica vengono utilizzati per indicare il voltaggio e la corrente. L'analisi dei componenti resistivi, capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza, semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. (In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera j per indicare l'unità immaginaria, dato che la i è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo, stabilivano j = -i, cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è vero anche oggi. La cosa non crea problemi nè agli ingegneri nè ai matematici, che non lavorano praticamente mai insieme: ma a volte i fisici si trovano a dover correggere strani errori di segno nei loro calcoli, se usano formule prese da libri di elettrotecnica).

Integrali impropri

Il teorema dei residui viene usato nell'analisi complessa per calcolare alcuni integrali impropri di difficile soluzione.

Meccanica Quantistica

Il campo dei numeri complessi è una componente essenziale della meccanica quantistica dato che la teoria è sviluppata in uno spazio di Hilbert a infinite dimensione derivato da C.

Relatività

Nella relatività generale e relatività speciale alcune formule dello spazio metrico diventano più semplici se si suppone la variabile temporale come una variabile immaginaria.

Applicazioni matematiche

Nelle equazioni differenziali, normalmente si trovano prima tutte le radici r dell'equazione caratteristica e dell'equazione differenziale lineare, poi si tenta di risolvere il sistema in termini di funzioni base del tipo f(t) = e^rt.

Dinamica dei fluidi

Nella dinamica dei fluidi i numeri complessi vengono utilizzati per descrivere il flusso potenziale in 2 dimensioni.

Frattali

Alcuni frattali utilizzano i numeri complessi per tracciare le funzioni, per esempio l'insieme di Mandelbrot e il frattale di Lyapunov.

Bibliografia

An Imaginary Tale, by Paul J. Nahin; Princeton University Press; ISBN 0691027951 (hardcover, 1998). Una semplice introduzione ai numeri complessi e all'analisi complessa (in inglese).

Voci correlate

Categoria:Numeri