Notazione bra-ket

separatore

</div>

Questo è un articolo di Fisica, che presuppone la conoscenza dei seguenti principi:

separatore

Fisica
MilliBar il Bar della fisica
Progetto Fisica
Glossario Fisico
Calendario degli eventi
Immagini
Portale Fisica Portale Chimica

La notazione bra-ket è utilizzata in meccanica quantistica, e venne introdotta da Dirac. Partendo dall'ampiezza di probabilità di un certo evento, solitamente un numero complesso, essa scinde i vettori di stato. Ad esempio $\left\langle \psi | \varphi \right\rangle$ rappresenta l'ampiezza di probabilità che partendo da uno stato φ si arrivi ad uno stato ψ. Se conosciamo una rappresentazione degli stati φ e ψ attraverso gli stati base i, possiamo scrivere

$\left\langle \psi | \varphi \right\rangle = \left\langle \psi | i \right\rangle \left\langle i | \varphi \right\rangle$

Se analizziamo l'espressione sopra, vediamo che ha una stretta somiglianza con il prodotto scalare: infatti, se ψ_i e φ_i sono le ampiezze di ψ e φ rispetto agli stati base normalizzati, l'espressione sopra diventa:

$\left\langle \psi | \varphi \right\rangle = \Sigma_i \psi_i \varphi_i$

Dirac propose di scindere il termine a sinistra dell'espressione in due parti, la prima $\left\langle \psi \right|$ detta bra e e la seconda $\left| \varphi \right\rangle$ detta ket. Esse rappresentano dunque il vettore di stato dei due sistemi considerati secondo gli stati base. Se poniamo per semplicità che siano solo tre, (i₁, i₂, i₃), rispettivamente avremo

$\left\langle \psi \right | = (\psi_{i_1}, \psi_{i_2}, \psi_{i_3})$ (vettore riga)

$\left| \varphi \right\rangle= \begin{pmatrix} \varphi_{i_1} \\ \varphi{i_2} \\ \varphi_{i_3} \end{pmatrix}$ (vettore colonna)

Dato che, generalmente, si ha che l'ampiezza di probabilità di passare da φ a ψ è il coniugato dell'ampiezza di probabilità di passare da ψ a φ, cioè

$\left\langle \psi | \varphi \right\rangle = \left\langle \varphi | \psi \right\rangle^*$

vale la relazione

$\left\langle \psi \right| = \left| \psi \right\rangle^*$

Definiamo l'operatore A una qualunque cosa interagisca con gli stati che stiamo considerando, comprese le apparecchiature sperimentali, che modifichi lo stato φ trasformandolo nello stato ψ. Per indicare questo operatore scriveremo $\left\langle \psi | A |\varphi \right\rangle$ . Scomponendo ψ e φ in stati base, rispettivamente i e j, possiamo porre

Se possiamo calcolare gli elementi di matrice $\left\langle i | A | j \right\rangle$ possiamo calcolare le ampiezze risultanti secondo i dal passaggio in A di qualunque stato espresso in j

Prendiamo ad esempio una particella con spin 1/2, l'elettrone. Abbiamo solo 2 possibili stati base: spin su (+) e spin giù (-). La A sarebbe dunque

$\left\langle i | A | j \right\rangle = \left( \begin{matrix} {+|A|+},{+|A|-} \\ {-|A|+},{-|A|-} \\ \end{matrix} \right)$

Un operatore particolare è quello di evoluzione temporale. Se consideriamo l'elettrone al tempo t₁ in un determinato stato (+ o -), esso avrà una certa probabilità di trovarsi, in un tempo t₂ successivo al primo, in un certo stato (+ o -). Ciascuna delle quattro possibilità verrà rappresentata dalla seguente notazione matriciale:

$\left\langle i | U(t_1,t_2) | j \right\rangle = \left( \begin{matrix} {+|U(t_1,t_2)|+},{+|U(t_1,t_2)|-} \\ {-|U(t_1,t_2)|+},{-|U(t_1,t_2)|-} \\ \end{matrix} \right)$

Il limite per t₁ → -∞ e t₂ → +∞ è un caso particolare: in questo caso l'operatore di evoluzione temporale viene detto matrice S (da scattering) ed introduce alla teoria dei propagatori.

Simboli HTML

Nel lignuaggio HTML, i simboli per il bra e il ket sono codificati da ⟨ e ⟩, e corrispondono ai codici #9001 e #9002 ⟨ e ⟩

Notazione bra-ket

Notazione bra-ket

Simboli HTML

See also: Notazione bra-ket, Elettrone, Fisica, Glossario fisico, HTML, Matrice, Meccanica quantistica, Numero complesso