Moto circolare

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Il moto circolare è uno dei moti semplici studiati dalla cinematica.

Per moto circolare, si intende il moto di un punto materiale lungo una circonferenza. Il moto circolare assume importanza per il fatto che la velocità e l'accelerazione variano in funzione del cambiamento di direzione del moto. Tale cambiamento si può misurare comodamente usando le misure angolari per cui le formule del moto, introdotte con il moto rettilineo, vanno riviste e rielaborate con misure angolari.

Assume particolare importanza l'asse di rotazione che è la retta formata dai centri delle traiettorie circolari dei vari punti. Per semplificare l'analisi di questo tipo di moto, infatti, consideriamo che l'osservatore si ponga sull'asse di rotazione. Ciò è possibile per l'isotropia e omogeneità dello spazio.

Indice

1 Rappresentazione del moto in coordinate cartesiane e polari

2 Velocità

3 Accelerazione

4 Moto circolare uniforme

5 Moto circolare uniformemente accelerato

6 Rappresentazione dei vettori posizione,velocità e accelerazione

7 Vedi anche

Rappresentazione del moto in coordinate cartesiane e polari

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La prima grandezza che viene rielaborata nel moto circolare rispetto al moto rettilineo è quella relativa alle coordinate in modo da rappresentarle in forma più adeguata.

Dato il raggio R del cerchio, si può descrivere il moto del punto utilizzando le coordinate polari, ovvero descrivendo l'evoluzione nel tempo in funzione dell'angolo θ compreso tra l'asse delle x e il vettore posizione del punto in moto.

In pratica mentre le coordinate cartesiane di un punto sono del tipo:

$P = (x,y) \,\!$

quelle polari sono del tipo:

$P = (r,\theta) \,\!$

Immagine:Coordinate_polari.png

È possibile convertire le coordinate polari in coordinate cartesiane mediante:

$x(t)=R \operatorname \cdot cos[\theta(t)]$

$y(t)=R \operatorname \cdot sin[\theta(t)]$ ;

essendo θ(t) una funzione continua e derivabile del tempo che registra l'angolo tra il vettore posizione del corpo e l'asse x al tempo t.

La traiettoria, in coordinate cartesiane è:

$x^2 + y^2 = r \,\!$

mentre in coordinate polari diventa:

$\rho(t)=R=\ costante$

$\theta=\operatorname \theta(t)$

Infine, l'arco di circonferenza percorso nel tempo dal punto sarà:

$s=r \cdot \theta (t)$

Velocità

Nel moto circolare ci confrontiamo con due tipologie di velocità, la velocità angolare e la velocità tangenziale.

La prima misura la variazione dell'angolo formato dal vettore posizione in un intervallo di tempo ed è una grandezza vettoriale con direzione coincidente con l'asse di rotazione; la seconda, invece, misura la velocità del corpo ed è tangente alla traiettoria.

Quest'ultima velocità non è mai costante nel moto circolare perché, essendo tangente alla traiettoria, varia continuamente nella direzione e quindi varia la grandezza vettoriale (anche se il modulo può rimanere costante).

Accelerazione

Il vettore accelerazione ha una componente tangente ed una normale: un'accelerazione centripeta e un'accelerazione tangenziale.

$\vec a = \frac {\operatorname d\vec v }{\operatorname d t}=R \,\ddot \theta \,\hat \tau + R\, \dot \theta^2 \,\hat n = a_t+a_c$

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Moto circolare uniforme

Se il moto circolare è uniforme vengono percorsi angoli uguali in tempi uguali, ovvero θ(t) è una funzione lineare:

$\operatorname \theta (t) = \theta_0 + \omega t$

essendo θ₀ la posizione angolare iniziale e ω la velocità angolare.

si comprende quindi come la velocità angolare sia costante per cui:

$\operatorname \omega = cost$

Tuttavia la velocità tangenziale, in quanto vettore, non sarà costante ma varierà perché varia la direzione, mentre sarà costante in modulo.

L'accelerazione viene ridotta alla sola componente dell'accelerazione centripeta.

Moto circolare uniformemente accelerato

Se il moto circolare è uniformemente accelerato la velocità angolare varia linearmente con il tempo:

$\operatorname \omega (t) = \omega_0 + \theta t$

essendo ω₀ la velocità angolare iniziale e α l' accelerazione angolare. L'angolo θ varia nel tempo secondo la relazione quadratica

$\operatorname \theta (t) = \theta_0 + \omega_0 t+ \frac {1}{2} \theta t^2$

Rappresentazione dei vettori posizione,velocità e accelerazione

Per una rappresentazione vettoriale delle grandezze cinematiche relative al moto circolare, è opportuno introdurre i versori tangente e normale alla traiettoria, che sono definiti nel modo seguente (il versore normale punta verso l'interno):

$\hat \tau = \left (\begin{matrix} -sin \theta \\ cos \theta \end{matrix} \right)$

$\hat n = \left (\begin{matrix} -cos \theta \\ - sin \theta \end{matrix} \right)$

Tenendo conto delle regole di derivazione, le derivate di questi versori rispetto al tempo sono date da

$\frac {\operatorname d\hat \tau }{\operatorname d t}= \left (\begin{matrix} -cos \theta \\ -sin \theta \end{matrix} \right) = \dot \theta \hat n$

$\frac {\operatorname d\hat n }{\operatorname d t}= \left (\begin{matrix} sin \theta \\ -cos \theta \end{matrix} \right) = - \dot \theta \hat \tau$

Possiamo quindi esprimere i vettori posizione, velocità e accelerazione usando i versori $\hat \tau$ e $\hat n$ :

Posizione. Il vettore posizione è sempre diretto radialmente:

$\vec r= -R \hat n$

Velocità. Il vettore velocità è sempre diretto tangenzialmente (la derivata di R rispetto al tempo è nulla)

$\vec v = \frac {\operatorname d\vec r }{\operatorname d t}=R \, \dot \theta \,\hat \tau$

La velocità radiale risulta quindi nulla, : $v_\rho = \dot \rho = 0$

La velocità tangenziale è : $v_\theta = R \, \dot \theta$

La velocità angolare è $\dot \theta = \omega$

Accelerazione. Il vettore accelerazione ha una componente tangente ed una normale:

$\vec a = \frac {\operatorname d\vec v }{\operatorname d t}=R \,\ddot \theta \,\hat \tau + R\, \dot \theta^2 \,\hat n$

L'accelerazione radiale, detta anche accelerazione centripeta è : $a_\rho = R \, \dot \theta^2$

L'accelerazione tangenziale o trasversa è : $a_\theta = R \,\ddot \theta$

Nel moto circolare uniforme l'accelerazione tangenziale è nulla.

Infine si possono scrivere le componenti del vettore velocità in coordinate cartesiane:

$\dot x = -R \, \dot \theta \,sin \,\theta = - \dot \theta \,y$

$\dot y = R \,\dot \theta \,cos \,\theta = \,\dot \theta \,x$

Introdotto il vettore velocità angolare, di modulo $\dot \theta$ , con direzione perpendicolare al piano del moto e con verso tale da vedere ruotare il corpo in senso antiorario,

$\vec \omega = \left( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ \dot \theta \end{matrix}\right )$

il vettore velocità può semplicemente essere scritto come:

$\vec v = \vec \omega \times \vec r$

Vedi anche

Moto armonico

Moto circolare

Moto circolare

Rappresentazione del moto in coordinate cartesiane e polari

Velocità

Accelerazione

Moto circolare uniforme

Moto circolare uniformemente accelerato

Rappresentazione dei vettori posizione,velocità e accelerazione

Vedi anche

See also: Moto circolare, Accelerazione, Accelerazione centripeta, Accelerazione tangenziale, Angolo, Cerchio, Cinematica, Circonferenza, Derivata