Moto browniano

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Quando un fluido si trova all'equilibrio termodinamico si potrebbe pensare che le molecole che lo compongono siano essenzialmente ferme o che comunque vibrino attorno alla loro posizione di equilibrio per effetto della temperatura. Se però si osserva il moto di un tale fluido, ad esempio mettendo in sospensione delle particelle colorate molto leggere ed osservandone il movimento, si nota che queste sono tutt'altro che a riposo. Quello che si osserva è che ciascuna particella segue un moto assolutamente disordinato la cui natura appare essere indipendente dalla natura della particella stessa.

Questo è dovuto al fatto che la particella in questione subisce un gran numero di eventi di scattering (urti) da parte delle molecole del fluido in cui è immersa.

Sebbene l'osservazione di questo fenomeno da parte di Jan Ingenhousz sia del 1785, esso venne riscoperto nel 1828 da Robert Brown (che osservò il moto del polline in una sospensione acquosa), per poi avere una trattazione matematica rigorosa solo agli inizi del Novecento con Louis Bachelier (1900 - Théorie de la spéculation, tesi di laurea) e Albert Einstein (1905 - Über die von der molekularkinetishchen Theorie der Warme gefordete Bewegung von in ruhenden Flussigkeiten suspendierten Teilchen, articolo - in italiano: Investigazioni sulla Teoria del moto browniano).

Indice

1 Trattazione matematica del moto Browniano

1.1 L'equazione di diffusione
1.2 L'equazione di Fokker-Plank

2 Brevi accenni al metodo di Bachelier: applicazioni al mercato finanziario

3 Bibliografia

4 Collegamenti esterni

Trattazione matematica del moto Browniano

Consideriamo una particella di massa M immersa in un fluido, all'equilibrio termodinamico, ad una temperatura T. Questa particella sarà soggetta ad un attrito viscoso $\vec{F}=-\lambda\vec{v}$ , dove $λ$ è il coefficiente di attrito viscoso e $\vec{v}$ è la velocità della particella stessa, e dalla forza risultante dagli urti con le molecole che compongono il fluido. Riguardo a questa forza aleatoria possiamo fare le seguenti ipotesi:

Isotropia: la forza non ha direzioni privilegiate e quindi $<\vec{f}(t)>=0$ .
Scorrelazione: la forza fluttua continuamente ed in ogni momento non è correlata con il suo valore ad un istante precedente e quindi $<\vec{f}(t)\vec{f}(t')>=\Lambda\delta (t-t')$ .
Gaussianità: la forza è il risultato di un numero molto alto di eventi tra di loro indipendenti e quindi, per il teorema del limite centrale può essere assunta essere distribuita gaussianamente.

La seconda legge della dinamica ( $\vec{F}=m\vec{a}$ ) può quindi essere riscritta come

$\frac{\operatorname d \vec{v}(t)}{\operatorname d t}=- \frac{\lambda}{M}\vec{v}(t)+\frac{\vec{f(t)}}{M}$

che ha come soluzione

$\vec{v}(t)=e^{-\frac{\lambda}{M}t[\int_0^t \frac{1}{M}e^{\frac{\lambda}{M}t'}\vec{f}(t') \operatorname d t' +\vec{v}(0)]}$

e quindi

$<\vec{v}(t)>=\vec{v}(0)e^{-\frac{\lambda}{M}t}$ .

Integrando ancora la velocità si ottiene che lo spostamento è dato da

$\vec{r}(t)=\int^t_0 e^{-\frac{\lambda}{M}t'} \left[ \int_0^{t'} \frac{1}{M}e^{\frac{\lambda}{M}t''}\vec{f}(t'') \operatorname d t''+\vec{v}(0) \right] \operatorname d t'$

e quindi

$<\vec{r}^2(t)>= \vec{r}^2(0) \frac{M^2}{\lambda^2}\left( e^{-\frac{\lambda}{M}t}-1 \right)^2 +\frac{\Lambda}{\lambda^2}t +\frac{2\Lambda M}{\lambda^3}\left( e^{-\frac{\lambda}{M}t}- \frac{1}{4}e^{-2\frac{\lambda}{M}t}-\frac{3}{4} \right)$

Per tempi lunghi ( $t>>\frac{M}{\lambda}$ ) questa equazione si semplifica in

$<\vec{r}^2(t)>\cong\frac{\Lambda}{\lambda^2}t=2Dt$

dove la costante definita da

$D=\frac{1}{2}~\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{<\vec{r}^2(t)>}{t}$

è detta coefficiente di diffusione.

L'equazione di diffusione

Macroscopicamente una particella soggetta ad un moto browniano subisce, in un tempo infinitesimo $δ t$ , uno spostamento $\delta \vec{r}$ distribuito come una gaussiana con media nulla e varianza $2 D t$ . Un metodo per studiare questo moto è quello di studiare come evolve la densità di probabilità $\rho (\vec{r},t)$ di trovare la particella nella posizione $\vec{r}$ ad un tempo $t + δ t$ .

Questa può essere riscritta come la probabilità che la particella si trovasse in $\vec{r} '$ ad un tempo t, moltiplicata per la probabilità condizionata che, nell'intervallo di tempo $δ t$ , la particella si sia spostata da $\vec{r} '$ a $\vec{r}$ integrata su tutti gli $\vec{r} '$ :

$\rho (\vec{r}, t+\delta t)= \int \rho (\vec{r} ',t) \cdot P(\delta \vec{r}, \delta t|\vec{r} ', t) \cdot \operatorname d \vec{r} '$

dove la probabilità condizionata, per quanto visto sopra, può essere scritta come:

$P(\delta \vec{r}, \delta t|\vec{r} ', t)= \frac{1}{(4\pi D \delta t)^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{|\delta \vec{r}|^2}{4D\delta t}}$

$\Rightarrow \rho (\vec{r}, t+\delta t)= \int \rho (\vec{r} ',t) \cdot \frac{1}{(4\pi D \delta t)^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{|\delta \vec{r}|^2}{4D\delta t}}\cdot \operatorname d \vec{r} '$

Per $δ t$ piccoli anche $\delta \vec{r}$ sarà piccolo e quindi possiamo effettuare uno sviluppo in serie di Taylor per ottenere

$\rho (\vec{r}, t+ \delta t)= \rho (\vec{r}, t) + D \delta t \nabla^2 \rho (\vec{r}, t)$

$\Rightarrow \frac{\partial}{\partial t} \rho (\vec{r}, t)= D \nabla^2 \rho (\vec{r}, t)$

che è la ben nota equazione di diffusione.

L'equazione di Fokker-Plank

Se introduciamo una forza esterna (generata da un potenziale U) a cui la particella è soggetta

$\vec{F}=-\nabla U$

possiamo pensare che in assenza della forza aleatoria la particella raggiungerebbe una certa velocità limite

$v_{lim}= \frac{\vec{F}}{\lambda}$

per effetto dell'attrito viscoso. Possiamo quindi scrivere che:

$<\delta \vec{r}>= v_{lim} \delta t \cong \frac{\vec{F}}{\lambda}\delta t$

$<\delta r_i \delta r_j>\cong 2D\delta_{ij}\delta t$ .

Inserendo questi termini nello sviluppo di $\rho (\vec{r}, t+\delta t)$ si ottiene

$\frac{\partial \rho}{\partial t}= -\nabla\cdot \left( \frac{\vec{F}}{\lambda} \rho - D \nabla \rho \right)$ che è la generalizzazione dell'equazione di diffusione al caso di forze esterne non nulle ed è nota come equazione di Fokker-Planck.

Brevi accenni al metodo di Bachelier: applicazioni al mercato finanziario

Bachelier, che è universalmente considerato il padre della matematica finanziaria, come Einstein, propose un approccio statistico al processo. In particolare, il processo stocastico utilizzato è un processo di Wiener (o di Bachelier-Wiener, come proposto da William Feller), che rientra nella categoria più ampia dei processi di Markov. I processi stocastici di Markov sono quei processi in cui il valore presente della variabile racchiude in se tutta la storia della variabile stessa.

È subito parso ragionevole applicare l'ipotesi di efficienza debole dei mercati (e cioè che il prezzo di un'attività racchiuda in se tutta la storia passata) per modellizzare attraverso un processo di Wiener il percorso del prezzo delle azioni in un mercato finanziario. Questo modello ha ripercussioni, quindi, anche sul pricing dei derivati, e in generale di altre attività finanziarie.

Formalmente, si intende la componente stocastica del processo dovrà avere drift rate nullo rispetto al tempo (media nulla) ed un variance rate unitario.

Il modello per il prezzo delle azioni si basa sul lemma di Ito e può essere analizzato attraverso simulazioni Monte Carlo.

Bibliografia

Appunti di meccanica statistica, Luca Peliti, Bollati Boringhieri (2003).

Collegamenti esterni

Edward Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion (1967) (per scaricare l'articolo in formato .pdf)
Robert Brown, Microscopical Observations of Active Molecules (1827): articolo originale sulle osservazioni di Brown (formato .pdf)

Moto browniano Categoria:Statistica