Matrice unitaria

In matematica, una matrice unitaria n × n è una matrice complessa U che soddisfa la condizione :

U ⁺ U = UU ⁺ = I_n

dove I_n è la matrice identità n × n e U⁺ è la trasposta coniugata (ovvero la aggiunta hermitiana) della U. Si noti che la precedente uguaglianza equivale a dire che una matrice U è unitaria sse possiede una inversa uguale alla sua coniugata trasposta U⁺.

Una matrice unitaria avente tutte le entrate reali è una matrice ortogonale. Come ogni matrice ortogonale G conserva il prodotto interno (reale) di due vettori reali,

anche ogni matrice unitaria U soddisfa l'uguaglianza più generale

per tutti i vettori complessi x e y, dove <.,.> indica il prodotto interno standard su Cⁿ. Una matrice è unitaria se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale di Cⁿ rispetto a questo prodotto interno.

Tutti gli autovalori di una matrice unitaria sono numeri complessi di valore assoluto 1 (cioè stanno sulla circonferenza unitaria centrata in 0 nel piano complesso). La stessa cosa è vera per il determinante.

Tutte le matrici unitarie sono normali: quindi possiamo applicare ad esse il teorema spettrale.

Vedi anche

• Glossario sulle matrici
• Matrice ortogonale
• Matrice nulla
• Matrice simplettica
• Gruppo unitario
• Operatore unitario

See also: Matrice unitaria, Base ortonormale, Determinante, Glossario sulle matrici, Matematica, Matrice (matematica), Matrice identità, Matrice invertibile, Matrice nulla, Matrice ortogonale