Matrice identità

In matematica si definisce matrice identità o matrice identica $I \in K^{n,n}$ la matrice quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1 (l'elemento neutro del prodotto in K), mentre i restanti elementi sono costituiti dal numero 0 (l'elemento neutro della somma in K). La matrice identità è quindi un caso particolare di matrice diagonale. È indicata comunemente anche con I_n, dove n è la dimensione della matrice.

$I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

La proprietà fondamentale di I_n è che:

AI_n = A e I_nB = B

ovunque queste moltiplicazioni di matrici sono definite. In particolare, la matrice identità fa da unità per l'anello di tutte le matrici n × n, e da elemento identico per il gruppo generale lineare GL(n) formato da tutte le matrici invertibili n × n (la matrice identità stessa è ovviamente invertibile, essendo l'inversa di sé stessa).

La i-esima colonna di una matrice identità è il vettore unità e_i. Usando la notazione usata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:

I n = diag(1,1,...,1)

Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:

(I n) i j = δ i j

Matrice identità

See also: Matrice identità, Anello (matematica), Delta di Kronecker, Matematica, Matrice diagonale, Matrice invertibile