Matematica
L'organizzazione e l'evoluzione del complesso degli articoli della presente enciclopedia concernenti la matematica viene discussa nell'ambito del Progetto Matematica e al Bar della Matematica. Per orientarsi tra questi articoli, oltre alla presente pagina, possono servire gli elenchi, i glossari e le panoramiche raccolti nella voce Indici per la matematica.
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Finalità della matematica
La parola "matematica" deriva dal greco μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significa "desideroso di apprendere".
Con questo termine attualmente si designa la disciplina che, in prima approssimazione, possiamo dire si occupa dei procedimenti che consentono di impostare e risolvere problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi e che studia i metodi che permettono di trattare in modo tendenzialmente generale i suddetti procedimenti.
La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli; è stata la prima a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata, e quindi a raggiungere lo status di scienza, ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che in talune lingue e in talune situazioni al termine singolare si preferisce il plurale matematiche.
È unanime il riconoscimento che la matematica continua ad ottenere risultati specifici e metodologici di alta incisività e di superiore attendibilità.
Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto all'importanza dei singoli personaggi capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi: questi però si sono riscontrati solo in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Nella storia della matematica degli ultimi 500 anni, in relazione al miglioramento delle possibilità di comunicare, è comunque prevalsa la crescita progressiva del patrimonio di risultati e di metodi.
Questo è dovuto alla natura stessa delle attività matematiche. Esse sono costantemente tese alla esposizione precisa dei problemi e delle soluzioni e questo impone di comunicare avendo come fine ultimo la possibilità di chiarire tutti i dettagli delle costruzioni logiche e dei risultati (anche molti chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio per molti aspetti esemplare come strumento per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze. Le attività matematiche inoltre sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.
Lo stile del lavoro e della comunicazione dei matematici, in effetti, rende rari i casi di errori o di smagliature nelle costruzioni conoscitive dovuti ad analisi insufficienti che non sono stati riconosciuti e corretti o almeno segnalati ad alta voce come necessari di correzione in tempi brevi.
Nel corso dello sviluppo della matematica si possono invece rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a due differenti generi di motivazioni e di approcci: le motivazioni applicative, con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di sistemazione concettuale con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali. Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori. Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.
Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad es. differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.
Argomenti della matematica
Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi oggetto della indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario guidato per un progressivo accostamento delle problematiche, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.
I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: si tratta di calcoli eseguibili con le quattro operazioni che possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.
I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.
I problemi computazionali più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Complicando gli enunciati diventa necessario di servirsi di equazioni. Le più semplici sono le lineari, sia perché ad esse portano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili, tutte o quasi con procedimenti standard.
Nella geometria piana elementare si pongono anche problemi costruttivi che richiedono di approfondire varie costruzioni geometriche
Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri il cui valori si lasciano indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni si rende necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiare certe formule. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare che si può considerare una tecnica che può rivelarsi utile per tutti.
Prime esigenze di impostazione sistematica e di efficienza e conseguente necessità di astrazione: quindi si perviene a prestare buona attenzione allo studio delle strutture.
Teoria dei numeri -- Strutture algebriche -- Geometria euclidea e geometria analitica -- modelli lineari e soluzione di sistemi di equazioni lineari -- matrici -- Successioni -- serie e convergenza -- Numeri reali e continuo -- Calcolo infinitesimale -- derivate -- integrali -- Equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali -- Funzioni reali e di variabile complessa -- Funzioni speciali -- Calcolo combinatorio -- calcolo delle probabilità e statistica -- Algoritmi e programmazione -- teoria dei grafi e ricerca operativa -- Strutture combinatorie e combinatoria algebrica -- Geometria differenziale -- Fisica matematica -- Teorie relativistiche -- Geometria algebrica -- Topologia -- Analisi funzionale -- Teorie quantistiche -- Sistemi dinamici -- Fondamenti della matematica -- teoria degli insiemi -- logica matematica e Teoria della ricorsione
Settori della matematica
Quantità
Numero -- Numeri naturali -- Pi Greco -- Numeri interi -- Numeri razionali -- Numeri reali -- Numeri complessi -- Numeri ipercomplessi -- Quaternioni -- Ottonioni -- Sedenioni -- Numeri iperreali -- Numeri surreali -- Numeri ordinali -- Numeri cardinali -- Numeri p-adice -- Sequenze di interi -- Costanti matematiche -- Nome dei numeri -- Infinito
Strumenti
Aritmetica -- Algebra -- Calcolo tensoriale -- Calcolo vettoriale -- Analisi -- Equazione differenziale -- Teoria dei sistemi -- Teoria del caos -- Lista di funzioni -- Equazione differenziale alle derivate parziali
Strumenti informatici
Segnaliamo alcuni programmi open source o comunque gratuitamente disponibili per lo studio della matematica:
- Maed, software educativo per la risoluzione di semplici problemi Home Page)
- Maxima, computer algebra system (Home Page)
- Octave, linguaggio di alto livello (Home Page)
- Scilab, strumento per il calcolo numerico (HomePage)
Strutture
Algebra astratta -- Teoria dei numeri -- Geometria algebrica -- Teoria dei gruppi -- Monoidi -- Analisi -- Topologia -- Algebra lineare -- Teoria dei grafi -- Algebra universale -- Teoria delle categorie
Spazi
Topologia -- Geometria -- Trigonometria -- Geometria algebrica -- Geometria differenziale -- Topologia differenziale -- Topologia algebrica -- Algebra lineare -- Geometria frattale -- Teoria della misura -- Analisi funzionale
Matematica discreta
Calcolo combinatorio -- Teoria ingenua degli insiemi -- Combinatoria -- Teoria della computazione -- Matematica finita -- Crittografia -- Teoria dei grafi -- Teoria dei giochi
Matematica applicata
Meccanica -- Analisi numerica -- Ottimizzazione -- Probabilità -- Statistica -- Matematica finanziaria
Teoremi e congetture famose
Ultimo teorema di Fermat -- Ipotesi di Riemann -- Ipotesi del continuo -- Complessità P e NP -- Congettura di Goldbach -- Congettura dei numeri primi gemelli -- Teorema dell'incompletezza di Godel -- Congettura di Poincarè -- Diagonale di Cantor -- Teorema di Pitagora -- Teorema del limite centrale -- Teorema fondamentale del calcolo infinitesimale -- Teorema fondamentale dell'algebra -- Teorema fondamentale dell'aritmetica -- Teorema dei quattro colori -- Lemma di Zorn -- Identità di Eulero -- Congettura di Scholz -- Teorema del punto fisso di Brouwer -- Congettura di Collatz -- Teorema di Dandelin
Fondazioni e metodi
Filosofia della matematica -- Intuizionismo matematico -- Costruttivismo matematico -- Fondazione della matematica -- Logica matematica -- Teoria dei modelli -- Teoria degli insiemi -- Teoria delle categorie -- Theorem-proving -- Matematica inversa -- Tabella dei simboli matematici -- Logica
Matematica e storia
- Panoramica storica
- Panoramica storica delle notazioni matematiche
- Testi di storia della matematica
- Cronologia della matematica
- Storia dell'insegnamento della matematica
Persone, premi e competizioni
- Matematici A-C - Matematici D-L - Matematici M-R - Matematici S-Z
- Matematici italiani A-C - Matematici italiani D-L - Matematici italiani M-R - Matematici italiani S-Z
- Statistici celebri --
- Medaglia Fields -- Premio Nevanlinna
- Premio Bartolozzi -- Premio Caccioppoli -- Premio Tricerri -- Premio Vinti -- Premio Fichera
- Premio Clay -- Premio Schock -- Premio Steele
- Premio Balzan
- Olimpiadi della matematica
Comunità della matematica
Documentazione della matematica
- Classificazione delle ricerche matematiche, MSC
- Testi matematici
- Testi di filosofia della matematica
- Testi di storia della matematica
- Bibliografia per la matematica
Alcuni aforismi sulla matematica
- La Matematica è l'alfabeto nel quale Dio ha scritto l'universo. (Galileo Galilei, 1564-1642)
- La matematica è più di una forma d'arte. (Takakazu Seki, 1642-1708)
- La matematica è la Vita degli Dei. (Novalis, 1772-1801)
- La matematica è un linguaggio. (Josiah Gibbs, 1839-1903)
- La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (Bertrand Russell, 1872-1970)
- I matematici sono dei sarti impazziti: confezionano "tutti gli abiti possibili" sperando di fare anche qualcosa adatto ad essere effettivamente indossato. (Attribuito a David van Dantzig, 1900-1959)
- Il linguaggio della matematica si rivela irragionevolmente efficace nelle scienze naturali [...] un dono meraviglioso che non comprendiamo né meritiamo. (Eugene Wigner, 1902-1995)
- La matematica è linguaggio [...] più logica. (Richard Feynman, 1918-1988)
- All'inizio e alla fine abbiamo il mistero. Potremmo dire che abbiamo il disegno di Dio. A questo mistero la matematica ci avvicina, senza penetrarlo. (Ennio De Giorgi, 1928-1996)
- La matematica è quella parte della scienza che potresti continuare a costruire anche se domattina, svegliandoti, scopri che l'universo non c'è più. (Citato da Dave Rusin)
Inoltre un enunciato piuttosto controverso:
- "I matematici parlano con Dio, i fisici parlano con i matematici, gli altri parlano fra loro" - (detto anonimo)
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