Loop (algebra)
Un loop è un quasigruppo con un elemento unitario. Da qui segue che ogni elemento del loop ha un suo unico inverso sinistro e un suo unico inverso destro.
Loop di Moufang (da Ruth Moufang)
è un quasigruppo (L, *) soddisfacente la condizione:
- (a*b)*(c*a) = (a*(b*c))*a
Per ogni a, b e c in L.
Quasigruppi e Loop associativi
- Ogni quasigruppo associativo può essere un Moufang loop.
- Un loop associativo può banalmente essere un gruppo.
- Questo in quanto i gruppi sono per la precisione dei quasigruppi associativi.
- La teoria strutturale dei loops è pressochè analoga a quella dei gruppi.
Moufang loops associativi
- Sebbene i Moufang loops non sono generamente associativi, soddisfano tuttavia una forma debole di associatività.
- Si può dimostrare che, definita una identità di Moufang (moltiplicazione denotata come giustapposizione)
- (ab)(ca) = (a(bc))a
- È equivalente a ciascuna delle seguenti:
- a(b(ac)) = ((ab)a)c
- a(b(cb)) = ((ab)c)b
- Queste 3 equazioni sono denominate identità di Moufang. Ognuna di queste può servire a definire un Moufang loop.
- Se assegno vari elementi a un'identitario e, si può dimostrare che queste relazioni implicano:
- a(ab) = (aa)b
- (ab)b = a(bb)
- a(ba) = (ab)a
- Dunque tutti i Moufang loops sono alternativi.
- Moufang ha dimostrato inoltre che il subloop generato da uno dei due elementi del Moufang loop è associativo (e dunque è un gruppo).
- In particolare, i Moufang loops sono power associative.
- Quando si lavora con i Moufang loops, è uso comune non usare le parentesi in expressioni con solo due elementi distinti.