Logaritmo

Il logaritmo è una delle due operazioni inverse dell'elevamento a potenza (l'altra è l'estrazione di radice). Più precisamente, si consideri l'equazione:

$\,a^b = c\,$

in cui ci limitiamo a considerare a e c reali positivi e b reale. Se a e c sono noti, è possibile calcolare b. Esso è il logaritmo di c in base a e si scrive:

$\,b = \log_a c\,$ .

Ad esempio, log₃ 81 = 4 perché 3⁴ = 81.

La funzione logaritmo può essere estesa ai numeri complessi.

Indice

1 Funzione logaritmo

2 Cambiamento di base

3 Proprietà dei logaritmi

4 Basi più comuni

5 Derivata e integrale della funzione logaritmo

6 Cenni storici

7 Voci correlate

8 Collegamenti esterni

Funzione logaritmo

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Logaritmi con varie basi: rosso per la base e, verde per la base 10 e viola per la base 1,7. Da notare che, tutte le funzioni passano per il punto (1, 0).

In figura tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base b. La curva rossa è per la funzione con base b=e costante di Nepero (valore approssimato: 2,71...).

Cambiamento di base

Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un'altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi 10 ed e).
Se b, x, e k sono tutti numeri reali positivi (con b ≠ 1 e k ≠ 1):

$\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}$

dove k è una base qualsiasi.

Per verificare la formula del cambiamento di base si considerino le seguenti equazioni:

$b^{\log_b x } = x\!\,$	per definizione di logaritmo
$\log_k\left( b^{\log_b x} \right) = \log_k x$	facendo il logaritmo della precedente uguaglianza
$\log_b x \, \log_k b = \log_k x$	semplificando dal lato sinistro (vedi più avanti nel paragrafo Proprietà dei logaritmi)
$\log_b x = \frac{\log_k x }{\log_k b }\,\!$	dividendo per log_k b entrambi i membri della precedente uguaglianza

Dalla formula del cambiamento di base, ponendo k = x, abbiamo una relazione che può essere utile:

$\log_b x =\frac{1}{\log_x b }$

Proprietà dei logaritmi

Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei due numeri:

$\log_m (a \cdot b) = \log_m a + \log_m b$

Il logaritmo di un numero elevato all'esponente $k$ è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero:

$\log_m a^k = k \cdot \log_m a$

Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore:

$\log_m \frac{a}{b} = \log_m a - \log_m b$

Basi più comuni

Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base, quelle più utilizzate sono tre:

base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log₁₀, più genericamente con log.

base e (logaritmi naturali o neperiani), usati in analisi infinitesimale; li si indica con ln, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara).

base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log₂.

Derivata e integrale della funzione logaritmo

La funzione derivata del logaritmo è la seguente:

$\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x \ln b} = \frac{\log_b e}{x}$

dove ln è il logaritmo naturale, cioè con base e.
Ponendo b = e si ha la derivata del logaritmo naturale:

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$ .

La funzione integrale del logaritmo, con base generica b, è (applicando l'integrazione per parti):

$\int \log_b x \,dx = x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

dove C è la generica costante di integrazione.

Cenni storici

I logaritmi vennero proposti nel 1614 da John Napier, noto anche col nome latinizzato di Neperus o in italiano Nepero, come ausilio per semplificare i calcoli. Infatti, è facile dimostrare che, scelta una base, il logaritmo del prodotto di due numeri è pari alla somma dei loro logaritmi: pertanto, al prezzo di due conversioni da un numero al suo logaritmo e una conversione inversa (verso il cosiddetto antilogaritmo) è possibile trasformare un prodotto in una somma. Le conversioni stesse venivano tabulate a priori e scritte in un volume ("Tavola dei logaritmi"). Lo stesso principio era usato nel regolo calcolatore.

Voci correlate

Logaritmo naturale
Identità sui logaritmi
Logaritmo discreto
Logaritmo di Zech

Collegamenti esterni

Logaritmi in MathWorld