Variabile casuale poissoniana

La variabile casuale Poissoniana è una variabile casuale discreta, detta pure degli eventi rari.

Indice

1.2.1 Approssimazione ad una Normale per λ molto grande
1.2.2 La Poissoniana e la v.c. Esponenziale Negativa
1.2.3 Somma di due v.c. Poissoniane
1.2.4 La Poissoniana e i processi markoviani
1.2.5 Somma di due v.c. intere non negative
1.2.6 Somma di due v.c. indipendenti
1.2.7 Distribuzione dell'indice di dispersione di Poisson

2 Storia

3 Articoli correlati

4 Tavole dei valori della funzione di probabilità

4.1 λ = 0.1, 0.2, ... 1.0
4.2 λ = 1.2, 1.4, ... 3.0
4.3 λ = 3.5, 4.0, ... 8.0

Metodologia

Definizione

La v.c. Poissoniana è definita con la funzione di probabilità

$P(k) = \frac{e^{-\lambda}\ \lambda^k}{k!}$ , dove

dove

k è un numero interno non negativo (k=0,1,2,3,....) e
λ è un qualsiasi valore positivo (λ>0)

La funzione generatrice dei momenti è pertanto:

$g(t)=e^{\lambda(e^t-1)}$

Il valore atteso e la varianza coincidono

μ = σ² = λ

La Poissoniana è detta pure legge degli eventi rari, in quanto può essere applicata al posto della variabile casuale Binomiale B(p;n) quando la probabilità p è molto bassa e contemporaneamente n è molto alta, ovvero quando un evento è raro, ma sono molti coloro che sono esposti al rischi. In tal caso λ = np.

Teoremi

Approssimazione ad una Normale per λ molto grande

Quando λ è molto grande (orientativamente λ > 10), allora la Poissoniana può essere approssimata con una variabile casuale Normale con valore atteso e varianza pari a λ: N( λ ; λ).

La Poissoniana e la v.c. Esponenziale Negativa

La v.c. Poissoniana viene usata in relazione alla v.c. Esponenziale Negativa in quanto:

se: l'intervallo di tempo che passa tra due successi è distribuito come una Esponenziale Negativa con a=λ
allora: il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo è distribuito come una Poissoniana (con parametro λ);

e viceversa.

Somma di due v.c. Poissoniane

Se: X e Y sono due variabili casuali indipendenti, distribuite come una poissoniana con parametro rispettivamente λ_x e λ_y
allora: Z=X+Y è a sua volta una v.c. Poissoniana con parametro λ_z = λ_x+λ_y

La Poissoniana e i processi markoviani

Se: in un processo markoviano (continuo nel tempo) nascite-morti, con le condizioni iniziali P_n(0)=1 per n=0, e =0 altrimenti, si osserva un processo di pure nascite con tasso costante λ
allora: si ottiene la soluzione P_n(t)=e^-λt (λt)^k/k!, ovvero una Poissoniana con parametro λt

Somma di due v.c. intere non negative

Se $X 1$ e $X 2$ sono v.c. intere nonnegative e

$P(X_1=x_1|X_1+X_2=x)={x \choose x_1}\ p_x^{x_1}\ (1-p_x)^{x-x_1}$

allora

$p_x \equiv p$ per ogni x
sia $X 1$ che $X 2$ sono distribuite come una v.c. di Poisson con parametro $\lambda = \frac{p}{1-p}$

Somma di due v.c. indipendenti

Se $X 1$ e $X 2$ sono v.c. indipendenti e $X = X 1 + X 2$ è distribuita come una Poissoniana, allora anche $X 1$ e $X 2$ sono distribuite come delle Poissoniane.

Distribuzione dell'indice di dispersione di Poisson

Se la v.c. X è distribuita come una Poissoniana, allora l'indice di dispersione di Poisson

$D=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i- \bar x)^2}{\bar x}$ dove $\bar x$ è la media aritmetica $\bar x =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ x_i$

è distribuito approssimativamente come una variabile casuale Chi Quadrato con n-1 gradi di libertà

Storia

La Poissoniana porta il nome di Siméon-Denis Poisson in quanto questo la utilizzò nel 1837 (tre anni prima di morire) in una ricerca sulle statistiche giudiziarie, derivandola come distribuzione limite della distribuzione di Pascal ( P(x)=p(1-p)^x ) e della distribuzione binomiale. Secondo alcuni storici questa variabile casuale dovrebbe portare il nome di Ladislaus Bortkiewicz considerati gli studi fatti da questo nel 1898.

In realtà la poissoniana come approssimazione della binomiale era già stata introdotta nel 1718 da Abraham de Moivre in Doctrine des chances.

Tavole dei valori della funzione di probabilità

λ = 0.1, 0.2, ... 1.0

+=======+===============================================================+
 |  k \ λ|    0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   1.0  |
 +=======+===============================================================+
 |  0    |  .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .5488 .4966 .4493 .4066 .3679  |
 |  1    |  .0905 .1637 .2222 .2681 .3033 .3293 .3476 .3595 .3659 .3679  |
 |  2    |  .0045 .0164 .0333 .0536 .0758 .0988 .1217 .1438 .1647 .1839  |
 |  3    |  .0002 .0011 .0033 .0072 .0126 .0198 .0284 .0383 .0494 .0613  |
 |  4    |        .0001 .0003 .0007 .0016 .0030 .0050 .0077 .0111 .0153  |
 |  5    |                    .0001 .0002 .0004 .0007 .0012 .0020 .0031  |
 |  6    |                                      .0001 .0002 .0003 .0005  |
 |  7    |                                                        .0001  |
 +=======+===============================================================+

λ = 1.2, 1.4, ... 3.0

+=======+===============================================================+
 |  k \ λ|    1.2   1.4   1.6   1.8   2.0   2.2   2.4   2.6   2.8   3.0  |
 +=======+===============================================================+
 |  0    |  .3012 .2466 .2019 .1653 .1353 .1108 .0907 .0743 .0608 .0498  |
 |  1    |  .3614 .3452 .3230 .2975 .2707 .2438 .2177 .1931 .1703 .1494  |
 |  2    |  .2169 .2417 .2584 .2678 .2707 .2681 .2613 .2510 .2384 .2240  |
 |  3    |  .0867 .1128 .1378 .1607 .1804 .1966 .2090 .2176 .2225 .2240  |
 |  4    |  .0260 .0395 .0551 .0723 .0902 .1082 .1254 .1414 .1557 .1680  |
 |  5    |  .0062 .0111 .0176 .0260 .0361 .0476 .0602 .0735 .0872 .1008  |
 |  6    |  .0012 .0026 .0047 .0078 .0120 .0174 .0241 .0319 .0407 .0504  |
 |  7    |  .0002 .0005 .0011 .0020 .0034 .0055 .0083 .0118 .0163 .0216  |
 |  8    |        .0001 .0002 .0005 .0009 .0015 .0025 .0038 .0057 .0081  |
 |  9    |                    .0001 .0002 .0004 .0007 .0011 .0018 .0027  |
 | 10    |                                .0001 .0002 .0003 .0005 .0008  |
 | 11    |                                            .0001 .0001 .0002  |
 | 12    |                                                        .0001  |
 +=======+===============================================================+

λ = 3.5, 4.0, ... 8.0

+=======+===============================================================+
 |  k \ λ|    3.5   4.0   4.5   5.0   5.5   6.0   6.5   7.0   7.5   8.0  |
 +=======+===============================================================+
 |  0    |  .0302 .0183 .0111 .0067 .0041 .0025 .0015 .0009 .0006 .0003  |
 |  1    |  .1057 .0733 .0500 .0337 .0225 .0149 .0098 .0064 .0041 .0027  |
 |  2    |  .1850 .1465 .1125 .0842 .0618 .0446 .0318 .0223 .0156 .0107  |
 |  3    |  .2158 .1954 .1687 .1404 .1133 .0892 .0688 .0521 .0389 .0286  |
 |  4    |  .1888 .1954 .1898 .1755 .1558 .1339 .1118 .0912 .0729 .0573  |
 |  5    |  .1322 .1563 .1708 .1755 .1714 .1606 .1454 .1277 .1094 .0916  |
 |  6    |  .0771 .1042 .1281 .1462 .1571 .1606 .1575 .1490 .1367 .1221  |
 |  7    |  .0385 .0595 .0824 .1044 .1234 .1377 .1462 .1490 .1465 .1396  |
 |  8    |  .0169 .0298 .0463 .0653 .0849 .1033 .1188 .1304 .1373 .1396  |
 |  9    |  .0066 .0132 .0232 .0363 .0519 .0688 .0858 .1014 .1144 .1241  |
 | 10    |  .0023 .0053 .0104 .0181 .0285 .0413 .0558 .0710 .0858 .0993  |
 | 11    |  .0007 .0019 .0043 .0082 .0143 .0225 .0330 .0452 .0585 .0722  |
 | 12    |  .0002 .0006 .0016 .0034 .0065 .0113 .0179 .0263 .0366 .0481  |
 | 13    |  .0001 .0002 .0006 .0013 .0028 .0052 .0089 .0142 .0211 .0296  |
 | 14    |        .0001 .0002 .0005 .0011 .0022 .0041 .0071 .0113 .0169  |
 | 15    |              .0001 .0002 .0004 .0009 .0018 .0033 .0057 .0090  |
 | 16    |                          .0001 .0003 .0007 .0014 .0026 .0045  |
 | 17    |                                .0001 .0003 .0006 .0012 .0021  |
 | 18    |                                      .0001 .0002 .0005 .0009  |
 | 19    |                                            .0001 .0002 .0004  |
 | 20    |                                                  .0001 .0002  |
 | 21    |                                                        .0001  |
 +=======+===============================================================+