Gruppo (matematica)
Un gruppo è un insieme G munito di una singola operazione binaria, chiamata prodotto, che ad ogni coppia di elementi a, b di G associa un elemento ab, rispettando gli assiomi di gruppo:
G0 - Magma per ogni a, b appartanenti a G, il loro prodotto ab appartiene ancora a G, vale adire, G è chiuso rispetto al prodotto
G1) - Semigruppo Il prodotto è associativo: dati a, b, c appartenenti a G, vale (ab)c = a(bc).
G2) - Monoide Esiste in G un (unico) elemento neutro e tale che ae = ea = a.
G3) Ad ogni elemento a di G è associato un elemento b, detto inverso di a, tale che ab = ba = e.
Un gruppo è dunque un Monoide invertibile, o un semigruppo unitario invertibile, o un Magma associativo unitario invertibile, ovvero un Quasigruppo associativo.
Si chiama gruppo commutativo (o gruppo abeliano) un gruppo per cui valga ab = ba per ogni coppia a, b di elementi di G.
Il gruppo si dice finito se la cardinalità dell'insieme G è finita, infinito in caso contrario. Il numero di elementi nel gruppo è anche chiamato ordine del gruppo e indicato col simbolo |G|.
I gruppi costituiscono una categoria in cui i morfismi sono gli omomorfismi di gruppo.
I gruppi sono la struttura algebrica fondamentale per studiare le simmetrie nelle varie forme con cui si possono presentare. In fisica sono particolarmente importanti i gruppi di Lie.
Vedi anche il glossario di teoria dei gruppi