Gruppo abeliano
Un gruppo abeliano è un gruppo la cui operazione binaria gode della proprietà commutativa: il gruppo (G, * ) è commutativo se a * b = b * a 
G. Il nome deriva dal matematico norvegiese Niels Henrik Abel.
L'operazione di un gruppo abeliano può essere chiamata somma e indicata col simbolo +.
Esempi
Tutti i gruppi ciclici sono abeliani, infatti, se a è l'elemento ciclico di G e x, y 
G, allora xy = anam = an + m = am + n = anam = yx. In particolare, i numeri interi Z con l'usuale addizione sono un gruppo abeliano.
Ogni campo F dà origine in modo naturale a due gruppi abeliani: il gruppo additivo (F,+) se si considera solo la somma, il gruppo moltiplicativo (F\{0}, * ) dato dagli elementi di F diversi da zero e considerando la sola operazione di prodotto. I numeri reali R danno luogo a due gruppi abeliani nel modo suddetto.
Proprietà
Ogni gruppo abeliano G può essere dotato di una struttura di modulo sull'anello Z dei numeri interi nel seguente modo: per x G, l'elemento nx è definito come l'n-esima potenza di x rispetto all'operazione di gruppo, vale a dire: nx := x+x+...+x con n addendi, (-n)x := -(nx). Di fatto, i moduli su Z possono essere identificati con i gruppi abeliani.
Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale, si può perciò costruire il gruppo quoziente a partire da ogni sottogruppo. Sottogruppi, gruppi quoziente, prodotti e somme dirette di gruppi abeliani sono ancora gruppi abeliani.
Gli omomorfismi Hom(G,H) tra due gruppi abeliani G e H costituiscono a loro volta un gruppo abeliano definendo la somma come (f + g)(x) := f(x) + g(x), dove f, g : G → H, x H. Questa particolare definizione si può applicare solo ai gruppi abeliani, infatti, se H e G non fossero abeliani, avremmo (f * g)(x * y) := f(x * y) * g(x * y) = f(x) * f(y) * g(x) * g(y), che differisce da (f * g)(x) * (f * g)(y) per l'ordine dei fattori, dimostrando che f * g non è un omomorfismo.
I gruppi abeliani, insieme con gli omomorfismi di gruppo, costituiscono una categoria che è una sottocategoria della categoria dei gruppi.
Vedi anche
categoria:teoria dei gruppi