Geometria iperbolica
La geometria iperbolica, anche chiamata geometria della sella o geometria di Lobachevsky, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico, che afferma: "Data una retta L e qualche punto A non su L, almeno due rette distinte esistono che passano per A e sono parallele a L." In questo caso parallelo significa che le rette non intersecano L, anche se non hanno distanza costante da L.
La geometria iperbolica è stata inizialmente studiata da Saccheri nel secolo XVIII, che tuttavia ha creduto essere inconsistente, e più tardi da Bolyai, Gauss e Lobachevsky, con il nome di geometria astrale. (Vedi articolo sulla geometria non euclidea per maggiori informazioni storiche.)
Vi sono tre modelli comunemente usati per la geometria iperbolica. Il modello di Klein usa l'interno di una circonferenza come piano iperbolico, e le corde della circonferenza come rette. Questo modello ha il vantaggio della semplicità, ma lo svantaggio che gli angoli nel piano iperbolico sono distorti.
Il modello a disco di Poincaré impiega anch'esso l'interno di una circonferenza, ma le rette sono rappresentate da archi di circonferenze che sono ortogonali alla circonferenza limitata, e dai diametri della circonferenza. Il modello a semipiano di Poincaré utilizza una metà del piano euclideo, individuato da una retta euclidea B, per rappresentare il piano iperbolico (B stesso non è incluso). Le rette iperboliche sono allora rapresenta dalle semicirconferenze con centro su B e dalle rette perpendicolari a B.
Entrambi i modelli di Poincaré preservano gli angoli iperbolici, e sono per questo conformi. Tutte le isometrie in questi modelli sono inoltre trasformazioni di Möbius.
Un quarto modello è il modello di Minkowski, che impiega un iperboloide N-dimensionale di rotazione immerso in uno spazio euclideo N+1-dimensionale. Questo modello impiega una metrica per cui la distanza tra due punti qualsiasi sull' iperboloide è :
ossia la stessa metrica usata nella relatività speciale per descrivere lo spaziotempo.
Esempi dei tre modelli
La geometria iperbolica ha molte proprietà differenti dalla geometria euclidea, ognuna delle quali è conseguenza del postulato iperbolico.
Voci correlate
Modelli di geometria iperbolica:
- Il modello di Klein
- Modello di Minkowski
- Il modello del semipiano di Poincaré
- Il modello del cerchio di Poincaré
- Il piano proiettivo
Categoria:Geometria iperbolica