Funzione generatrice dei momenti
La funzione generatrice dei momenti viene usata in statistica per caratterizzare in modo astratto le variabili casuali (v.c.), permettendo da un lato di estrarne agevolmente alcuni parametri (come il valore atteso e la varianza) dall'altro di confrontare due diverse v.c. e vedere il loro comportamento in condizioni limite.
La funzione generatrice dei momenti g(t) di una variabile casuale X è definita come il valore atteso di etX.
Nel caso di variabili casuali discrete si ottiene
- g(t) = V.A.(etX) = Σi=1..n pi exp(t xi)
mentre per la variabili casuali continue
- g(t) = V.A.(etX) = -∞∫+∞ etxf(x)dx
Dalla f.g.m. è possibile ricavare i momenti semplici di ordine k
derivando k volte g(t) con t=0. Vale a dire:
- μ1 = g'(t) con t=0
- μ2 = g"(t) con t=0
- ecc.
da cui si può ad esempio ricavare la varianza σ² = μ2 - μ² (essendo tradizionalmente μ = μ1).
Teoremi
Se X1, X2, ..., Xn sono v.c. anche non indipendenti e X la loro somma
- X = X1 + X2 + ... + Xn
allora la funzione genetratrice dei momenti di X è la moltiplicaziione delle f.g.m. delle singole Xi
- g(t;X) = g(t;X1)·g(t;X2)·...·g(t;Xn)